Номер 3.11, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.11. Найдите все углы, образованные при пересечении секущей с двух параллельных прямых $\text{a}$ и $\text{b}$, если:

1) один из углов равен $150^\circ$;

2) один из углов на $70^\circ$ больше другого.

1) При пересечении двух параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $c$ образуется 8 углов. Все эти углы либо равны между собой, либо являются supplementary (их сумма равна $180^\circ$). Это означает, что существует только два возможных значения для величин этих углов.

Пусть один из углов равен $150^\circ$. Обозначим его как $\angle 1$. Этот угол является тупым.

Углы, смежные с $\angle 1$, или внутренние односторонние с ним, будут равны $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Это острые углы.

Всего при пересечении образуются 4 тупых угла и 4 острых угла. Все тупые углы равны друг другу, и все острые углы равны друг другу.

Следовательно, четыре из образованных углов будут равны $150^\circ$, а остальные четыре будут равны $30^\circ$.

Ответ: четыре угла по $150^\circ$ и четыре угла по $30^\circ$.

2) Как и в предыдущем случае, при пересечении параллельных прямых секущей образуются углы только двух различных величин. Обозначим эти величины $\alpha$ и $\beta$.

Любые два угла, образованные при таком пересечении, либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$.

По условию, один из углов на $70^\circ$ больше другого. Пусть $\alpha = \beta + 70^\circ$.

Углы не могут быть равны, так как это привело бы к неверному равенству $\beta = \beta + 70^\circ$, или $0 = 70^\circ$.

Следовательно, эти углы не равны, а их сумма равна $180^\circ$: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Мы получили систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} \alpha = \beta + 70^\circ \\ \alpha + \beta = 180^\circ \end{cases} $

Подставим первое уравнение во второе:

$(\beta + 70^\circ) + \beta = 180^\circ$

$2\beta + 70^\circ = 180^\circ$

$2\beta = 110^\circ$

$\beta = 55^\circ$

Теперь найдем $\alpha$:

$\alpha = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$

Таким образом, величины двух разных типов углов равны $125^\circ$ и $55^\circ$. Всего образуется четыре угла одного типа и четыре другого.

Ответ: четыре угла по $125^\circ$ и четыре угла по $55^\circ$.