Номер 3.16, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.16. Дан треугольник $ABC$. Прямая $\text{m}$ параллельна прямой $\text{AD}$, $D \in BC$, $P \in AB$, $Q \in AC$ и $PQ \parallel BC$. Докажите, что прямая $\text{m}$ пересекает прямые $\text{AB}$, $\text{AC}$, $\text{BC}$, $\text{PD}$, $\text{PQ}$ и $\text{QD}$ (рис. 3.10).

Рис. 3.10

Для доказательства того, что прямая $m$ пересекает каждую из указанных прямых, достаточно доказать, что прямая $m$ не параллельна ни одной из них. Так как по условию $m \parallel AD$, задача сводится к доказательству того, что прямая $AD$ не параллельна ни одной из прямых $AB, AC, BC, PD, PQ, QD$. Две различные прямые на плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда они не параллельны. Будем исходить из общего невырожденного случая, когда $A, B, C$ образуют треугольник, а точки $D, P, Q$ не совпадают с его вершинами и не приводят к вырождению других элементов (например, $PQ$ является отрезком, а не точкой).

Прямые $AD$ и $AB$ имеют общую точку $A$. Если бы они были параллельны, они должны были бы совпадать. Однако точка $D$ лежит на прямой $BC$, а в невырожденном треугольнике $ABC$ точка $D$ (не совпадающая с $B$) не может лежать на прямой $AB$. Следовательно, прямые $AD$ и $AB$ различны. Две различные прямые, имеющие общую точку, пересекаются и не могут быть параллельны. Значит, $AD \not\parallel AB$. Так как $m \parallel AD$, то и $m \not\parallel AB$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $AB$.

Ответ: Доказано, что прямая $m$ пересекает прямую $AB$.

Аналогично предыдущему пункту, прямые $AD$ и $AC$ имеют общую точку $A$. Так как $D \in BC$ и в общем случае $D \neq C$, точка $D$ не лежит на прямой $AC$. Поэтому прямые $AD$ и $AC$ различны. Имея общую точку, они пересекаются и не являются параллельными: $AD \not\parallel AC$. Поскольку $m \parallel AD$, то $m \not\parallel AC$. Значит, прямые $m$ и $AC$ пересекаются.

Ответ: Доказано, что прямая $m$ пересекает прямую $AC$.

Предположим, что прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$). Но точка $D$ по условию принадлежит прямой $BC$. Если параллельные прямые имеют общую точку, то они совпадают. Это означало бы, что прямая $AD$ и прямая $BC$ — это одна и та же прямая, и, следовательно, точка $A$ лежит на прямой $BC$. Это противоречит тому, что $ABC$ является треугольником. Следовательно, предположение неверно, и $AD \not\parallel BC$. Так как $m \parallel AD$, то $m \not\parallel BC$. Значит, прямые $m$ и $BC$ пересекаются.

Ответ: Доказано, что прямая $m$ пересекает прямую $BC$.

По условию, прямая $PQ$ параллельна прямой $BC$ ($PQ \parallel BC$). В предыдущем пункте мы доказали, что $AD \not\parallel BC$. Предположим, что $AD \parallel PQ$. Тогда из $AD \parallel PQ$ и $PQ \parallel BC$ по свойству транзитивности параллельности следует, что $AD \parallel BC$. Это противоречит ранее доказанному. Следовательно, предположение неверно, и $AD \not\parallel PQ$. Так как $m \parallel AD$, то $m \not\parallel PQ$. Значит, прямые $m$ и $PQ$ пересекаются.

Ответ: Доказано, что прямая $m$ пересекает прямую $PQ$.

Прямые $AD$ и $PD$ имеют общую точку $D$. Они могут быть параллельны, только если они совпадают. Это означает, что точки $A, P, D$ должны быть коллинеарны. Точка $P$ лежит на прямой $AB$, а точка $D$ — на прямой $BC$. Если точки $A, P, D$ коллинеарны, то точка $D$ должна лежать на прямой $AP$, то есть на прямой $AB$. Поскольку $D$ также лежит на $BC$, точка $D$ должна быть точкой пересечения прямых $AB$ и $BC$, то есть $D=B$. Этот вырожденный случай противоречит общему смыслу задачи (если $D=B$, то $AD=AB$ и $m \parallel AB$, что отменяет необходимость доказывать пересечение). В общем случае $A, P, D$ не коллинеарны, прямые $AD$ и $PD$ различны. Так как они имеют общую точку $D$, они не параллельны. Значит, $AD \not\parallel PD$. Так как $m \parallel AD$, то $m \not\parallel PD$, и они пересекаются.

Ответ: Доказано, что прямая $m$ пересекает прямую $PD$.

Аналогично, прямые $AD$ и $QD$ имеют общую точку $D$. Они параллельны, только если совпадают, то есть если точки $A, Q, D$ коллинеарны. Точка $Q$ лежит на прямой $AC$, а точка $D$ — на прямой $BC$. Если $A, Q, D$ коллинеарны, то точка $D$ должна лежать на прямой $AQ$, то есть на прямой $AC$. Поскольку $D$ также лежит на $BC$, точка $D$ должна быть точкой пересечения прямых $AC$ и $BC$, то есть $D=C$. Этот вырожденный случай также противоречит условиям задачи. Следовательно, в общем случае точки $A, Q, D$ не коллинеарны, а прямые $AD$ и $QD$ различны и непараллельны. Значит, $AD \not\parallel QD$. Так как $m \parallel AD$, то $m \not\parallel QD$, и они пересекаются.

Ответ: Доказано, что прямая $m$ пересекает прямую $QD$.