Номер 3.23, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.23. Из точки $\text{D}$, лежащей на биссектрисе угла $\text{B}$, опущены перпендикуляры $\text{DA}$ и $\text{DC}$ на его стороны. Докажите, что $DA = DC$.

Для доказательства равенства отрезков $DA$ и $DC$ рассмотрим два треугольника, которые образуются в результате построений: $ΔABD$ и $ΔCBD$.

Согласно условию задачи, $DA$ и $DC$ являются перпендикулярами, опущенными из точки $D$ на стороны угла $B$. Это означает, что $DA$ перпендикулярна стороне, на которой лежит точка $A$, и $DC$ перпендикулярна стороне, на которой лежит точка $C$. Следовательно, углы $∠DAB$ и $∠DCB$ являются прямыми: $∠DAB = 90°$ $∠DCB = 90°$ Таким образом, треугольники $ΔABD$ и $ΔCBD$ — прямоугольные.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников. Так как она лежит напротив прямых углов, $BD$ — это общая гипотенуза.

2. По условию, точка $D$ лежит на биссектрисе угла $B$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, поэтому $∠ABD = ∠CBD$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $ΔABD$ и $ΔCBD$ равны по гипотенузе и острому углу (один из признаков равенства прямоугольных треугольников).

Поскольку треугольники $ΔABD$ и $ΔCBD$ равны, то равны и все их соответствующие элементы. В частности, катет $DA$ из треугольника $ΔABD$ и катет $DC$ из треугольника $ΔCBD$ являются соответствующими сторонами, так как они лежат напротив равных углов ($∠ABD$ и $∠CBD$ соответственно).

Следовательно, $DA = DC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $DA = DC$ доказано. Это свойство является фундаментальным для биссектрисы угла: любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.