Вопросы, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Чему равна сумма внутренних углов треугольника?

2. Какие углы называются внешними углами треугольника?

3. Какие треугольники называются прямоугольными? Назовите их элементы.

4. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

5. Что такое наклонная и ее проекция?

6. Что означает понятие «расстояние между фигурами»?

1. Согласно теореме о сумме углов треугольника, в евклидовой геометрии сумма внутренних углов любого треугольника постоянна и составляет $180^\circ$. Если обозначить углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, то всегда будет верно соотношение: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Ответ: Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$.

2. Внешним углом треугольника при некоторой его вершине называется угол, который является смежным с внутренним углом треугольника при этой же вершине. Он образуется при продлении одной из сторон треугольника. Важное свойство внешнего угла заключается в том, что его величина равна сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Ответ: Внешними углами треугольника называются углы, смежные с его внутренними углами.

3. Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого является прямым, то есть его градусная мера равна $90^\circ$.

Элементы прямоугольного треугольника имеют особые названия:

- Катеты: это две стороны, которые образуют прямой угол.

- Гипотенуза: это сторона, которая лежит напротив прямого угла. Гипотенуза всегда длиннее любого из катетов.

Ответ: Прямоугольные треугольники — это треугольники, у которых есть прямой угол ($90^\circ$). Их элементы: два катета (стороны, образующие прямой угол) и гипотенуза (сторона, противолежащая прямому углу).

4. Существуют следующие признаки равенства прямоугольных треугольников:

1) По двум катетам: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны.

2) По катету и прилежащему острому углу: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3) По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4) По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Ответ: Признаки равенства прямоугольных треугольников: по двум катетам; по катету и прилежащему острому углу; по гипотенузе и острому углу; по гипотенузе и катету.

5. Пусть дана прямая и точка, не лежащая на ней.

Наклонная — это любой отрезок, проведенный из этой точки к прямой, который не является перпендикуляром. Точка пересечения наклонной с прямой называется основанием наклонной.

Проекция наклонной на прямую — это отрезок, который соединяет основание перпендикуляра, опущенного из той же точки на прямую, и основание самой наклонной. Длина проекции является одним из катетов в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является наклонная, а другим катетом — перпендикуляр.

Ответ: Наклонная — это отрезок, соединяющий точку, не лежащую на прямой, с точкой на прямой, и не являющийся перпендикуляром к этой прямой. Ее проекция — это отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной, проведенных из той же точки.

6. Понятие «расстояние между фигурами» обозначает длину кратчайшего из всех возможных отрезков, которые соединяют точку одной фигуры с точкой другой фигуры. Если у фигур есть хотя бы одна общая точка (т.е. они пересекаются или касаются), расстояние между ними считается равным нулю. Формально, расстояние $d$ между фигурами $F_1$ и $F_2$ — это наименьшее значение (инфимум) из всех расстояний между точкой $X$ из $F_1$ и точкой $Y$ из $F_2$: $d(F_1, F_2) = \inf \{ |XY| : X \in F_1, Y \in F_2 \}$.

Ответ: Расстояние между фигурами — это длина кратчайшего отрезка, соединяющего точки этих фигур.