Номер 3.17, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. Докажите, что две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны.

Для доказательства этого утверждения будем исходить из того, что речь идет о прямых, лежащих в одной плоскости (в рамках евклидовой планиметрии). Пусть даны две различные прямые $a$ и $b$. Проанализируем количество общих точек, которые они могут иметь.

Случай 1: Прямые не имеют общих точек.

По определению, две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Следовательно, если у прямых $a$ и $b$ нет общих точек, то они параллельны ($a \parallel b$). Это соответствует одному из двух возможных исходов, указанных в условии задачи — «либо параллельны».

Случай 2: Прямые имеют хотя бы одну общую точку.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ имеют как минимум одну общую точку, назовем ее $M$. Теперь выясним, могут ли они иметь больше одной общей точки. Допустим, что существует еще одна общая точка $N$, отличная от точки $M$.

В этом случае обе прямые, $a$ и $b$, проходят через две различные точки $M$ и $N$. Однако, согласно фундаментальной аксиоме геометрии, через любые две различные точки проходит единственная прямая.

Так как прямая $a$ проходит через точки $M$ и $N$, и прямая $b$ проходит через те же точки $M$ и $N$, то из-за единственности прямой, проходящей через две точки, следует, что прямые $a$ и $b$ должны совпадать. Это означает, что $a$ и $b$ — это одна и та же прямая.

Но это противоречит условию задачи, согласно которому прямые $a$ и $b$ являются различными. Следовательно, наше предположение о существовании второй общей точки $N$ неверно. Это означает, что если две различные прямые имеют общую точку, то она может быть только одна.

По определению, две прямые, имеющие ровно одну общую точку, называются пересекающимися. Это соответствует второму из возможных исходов, указанных в условии задачи — «либо пересекаются».

Таким образом, мы рассмотрели все логические возможности для двух различных прямых на плоскости. Они либо не имеют общих точек (и тогда они параллельны), либо имеют ровно одну общую точку (и тогда они пересекаются). Никаких других вариантов, как, например, наличие двух или более общих точек, для двух различных прямых не существует.

Ответ: Утверждение доказано. Для двух различных прямых $a$ и $b$ на плоскости существует только две возможности: 1) они не имеют общих точек, что по определению означает, что они параллельны; 2) они имеют одну общую точку, что по определению означает, что они пересекаются. Случай, когда они имеют две или более общих точек, невозможен, так как это противоречило бы аксиоме о том, что через две точки проходит только одна прямая, и условию, что прямые различны.