Номер 3.12, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.12. Прямая $\text{a}$ параллельна стороне $\text{AB}$ треугольника $\triangle ABC$. Докажите, что прямые $\text{BC}$ и $\text{AC}$ пересекают прямую $\text{a}$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Доказательство состоит из двух частей.

Доказательство для прямой BC

Предположим, что прямая BC не пересекает прямую a. Если две прямые на плоскости не пересекаются, то они параллельны. Следовательно, из нашего предположения следует, что $BC \parallel a$.

По условию задачи нам дано, что прямая a параллельна стороне AB, то есть $a \parallel AB$.

Из двух утверждений, $BC \parallel a$ и $a \parallel AB$, на основании свойства транзитивности параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой) следует, что $BC \parallel AB$.

Однако прямые BC и AB — это стороны треугольника ABC, которые имеют общую точку B, то есть пересекаются. Это вступает в противоречие с определением параллельных прямых, которые не должны иметь общих точек.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Это означает, что прямая BC пересекает прямую a.

Доказательство для прямой AC

Аналогично докажем для прямой AC. Предположим, что прямая AC не пересекает прямую a. Тогда из определения параллельных прямых следует, что $AC \parallel a$.

Так как по условию $a \parallel AB$, то по свойству транзитивности параллельности прямых получаем, что $AC \parallel AB$.

Но прямые AC и AB являются сторонами одного треугольника и пересекаются в точке A. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно.

Следовательно, прямая AC пересекает прямую a.

Таким образом, мы доказали, что обе прямые, BC и AC, пересекают прямую a.

Ответ: Что и требовалось доказать.