Номер 3.5, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.5. Разность двух внутренних односторонних углов при пересечении секущей двух параллельных прямых равна $30^\circ$. Определите эти углы.

Пусть две параллельные прямые пересечены третьей прямой (секущей). Обозначим два внутренних односторонних угла как $\alpha$ и $\beta$.

По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Это дает нам первое уравнение:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию задачи, разность этих углов равна $30^\circ$. Пусть $\alpha$ будет большим углом, тогда $\beta$ — меньшим. Это дает нам второе уравнение:

$\alpha - \beta = 30^\circ$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 30^\circ \end{cases}$

Чтобы решить эту систему, можно сложить два уравнения. Это позволит нам избавиться от переменной $\beta$:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 30^\circ$

$2\alpha = 210^\circ$

Отсюда находим $\alpha$:

$\alpha = \frac{210^\circ}{2} = 105^\circ$

Теперь, когда мы нашли один угол, мы можем подставить его значение в любое из исходных уравнений, чтобы найти второй угол. Подставим $\alpha = 105^\circ$ в первое уравнение:

$105^\circ + \beta = 180^\circ$

Выразим $\beta$:

$\beta = 180^\circ - 105^\circ$

$\beta = 75^\circ$

Таким образом, мы нашли оба угла. Проверим: их сумма $105^\circ + 75^\circ = 180^\circ$, и их разность $105^\circ - 75^\circ = 30^\circ$. Условия задачи выполнены.

Ответ: искомые углы равны $75^\circ$ и $105^\circ$.