Номер 10, страница 56 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Дано: $EK = FL$.

Доказать: $FE = KL$.

Дано:

В четырехугольнике $FEKL$ даны стороны $FE, EK, KL, LF$ и диагональ $EL$.

Из условия задачи известно, что $EK = FL$.

На рисунке дугами отмечены равные углы: $\angle FEL = \angle KLE$.

Доказать:

$FE = KL$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, которые образуются диагональю $EL$: $\triangle FEL$ и $\triangle KLE$.

Применим теорему синусов к каждому из этих треугольников.

Для $\triangle FEL$ справедливо соотношение:

$\frac{FL}{\sin(\angle FEL)} = \frac{EL}{\sin(\angle EFL)} = \frac{FE}{\sin(\angle FLE)} = 2R_1$, где $R_1$ — радиус описанной окружности $\triangle FEL$.

Из этого соотношения выразим $R_1$:

$R_1 = \frac{FL}{2\sin(\angle FEL)}$

Для $\triangle KLE$ справедливо соотношение:

$\frac{EK}{\sin(\angle KLE)} = \frac{EL}{\sin(\angle LKE)} = \frac{KL}{\sin(\angle KEL)} = 2R_2$, где $R_2$ — радиус описанной окружности $\triangle KLE$.

Из этого соотношения выразим $R_2$:

$R_2 = \frac{EK}{2\sin(\angle KLE)}$

По условию нам дано, что $EK = FL$ и $\angle FEL = \angle KLE$. Подставим эти равенства в выражения для радиусов:

$R_1 = \frac{FL}{2\sin(\angle FEL)}$

$R_2 = \frac{FL}{2\sin(\angle FEL)}$

Отсюда следует, что $R_1 = R_2$. Радиусы описанных окружностей обоих треугольников равны. Обозначим их просто $R$.

Теперь рассмотрим сторону $EL$, которая является общей для обоих треугольников. Из теоремы синусов для каждого треугольника имеем:

Для $\triangle FEL$: $EL = 2R \sin(\angle EFL)$

Для $\triangle KLE$: $EL = 2R \sin(\angle LKE)$

Приравнивая выражения для $EL$, получаем:

$2R \sin(\angle EFL) = 2R \sin(\angle LKE)$

$\sin(\angle EFL) = \sin(\angle LKE)$

Это равенство возможно в двух случаях:

1) $\angle EFL = \angle LKE$

2) $\angle EFL + \angle LKE = 180^\circ$

Судя по чертежу, углы $\angle EFL$ и $\angle LKE$ являются острыми. Сумма двух острых углов меньше $180^\circ$, поэтому второй случай невозможен. Следовательно, $\angle EFL = \angle LKE$.

Теперь мы можем доказать равенство треугольников $\triangle FEL$ и $\triangle KLE$. У нас есть:

1. $\angle FEL = \angle KLE$ (по условию)

2. $\angle EFL = \angle LKE$ (как доказано выше)

3. $FL = EK$ (по условию)

Треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Однако здесь сторона не лежит между углами. Правильнее применить признак равенства по стороне и двум углам (AAS - Angle-Angle-Side). Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то и третьи углы равны: $\angle FLE = \angle KEL$.

Следовательно, $\triangle FEL = \triangle KLE$ (например, по признаку ASA: сторона $FL=EK$ и прилежащие к ней углы $\angle EFL=\angle LKE$ и $\angle FLE = \angle KEL$ - нет, это неверно). Правильно будет так: $\triangle FEL \cong \triangle KLE$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (ASA), если мы используем сторону $EL$, так как $\angle FEL$ и $\angle EFL$ не прилегают к $FL$. Используем сторону $EL$: $\angle KEL = \angle FLE$ и $\angle KLE$ и $\angle FEL$. Нет, это тоже не ASA. Вернемся к набору равенств: $\angle FEL = \angle KLE$, $\angle EFL = \angle LKE$, $FL = EK$. Треугольники равны по признаку "по двум углам и стороне, противолежащей одному из них" (AAS). Так как $\triangle FEL \cong \triangle KLE$, то их соответствующие стороны равны. Сторона $FE$ лежит напротив угла $\angle FLE$. Сторона $KL$ лежит напротив угла $\angle KEL$. Поскольку мы доказали, что $\angle FLE = \angle KEL$, то и противолежащие им стороны должны быть равны.

$FE = KL$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $FE = KL$ доказано на основе равенства треугольников $\triangle FEL$ и $\triangle KLE$.