Номер 5, страница 55 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5. Доказать: $\triangle ABD = \triangle CDB.$

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников, который гласит, что если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$:

1. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

2. Угол $\angle ABD$ треугольника $\triangle ABD$ равен углу $\angle CDB$ треугольника $\triangle CDB$. Это следует из условия задачи, так как на чертеже эти углы отмечены одинаковой одинарной дугой. Данные углы прилежат к стороне $BD$.

3. Угол $\angle ADB$ треугольника $\triangle ABD$ равен углу $\angle CBD$ треугольника $\triangle CDB$. Это также следует из условия, так как на чертеже эти углы отмечены одинаковой двойной дугой. Данные углы также прилежат к стороне $BD$.

Поскольку сторона $BD$ и два прилежащих к ней угла $\angle ABD$ и $\angle ADB$ в треугольнике $\triangle ABD$ соответственно равны стороне $DB$ и двум прилежащим к ней углам $\angle CDB$ и $\angle CBD$ в треугольнике $\triangle CDB$, то треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

Таким образом, $\triangle ABD = \triangle CDB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как сторона $BD$ у них общая, а прилежащие к ней углы соответственно равны по условию: $\angle ABD = \angle CDB$ и $\angle ADB = \angle CBD$.