Вопросы, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

2. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

3. Какие углы называются внутренними односторонними и накрест лежащими?

4. Какие углы называются соответственными?

5. Сформулируйте и докажите 3 признака параллельности прямых.

1. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых $a$ и $b$ обозначается как $a \parallel b$.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. То есть, если отрезок $AB$ лежит на прямой $a$, а отрезок $CD$ лежит на прямой $b$, и при этом $a \parallel b$, то отрезки $AB$ и $CD$ параллельны.

Ответ: Параллельные прямые — это непересекающиеся прямые на плоскости. Параллельные отрезки — это отрезки, лежащие на параллельных прямых.

2. Аксиома параллельных прямых (также известная как пятый постулат Евклида в формулировке Плейфера) гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Это означает, что если есть прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$), то существует единственная прямая $b$, которая проходит через точку $M$ и параллельна прямой $a$ ($M \in b$ и $b \parallel a$).

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

3. При пересечении двух прямых $a$ и $b$ третьей прямой $c$ (называемой секущей) образуются различные пары углов. Для определения искомых углов представим, что прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$ и прямую $b$ в точке $B$. Область плоскости между прямыми $a$ и $b$ называется внутренней.

Внутренними односторонними углами называются два угла, которые:

1) лежат во внутренней области (между прямыми $a$ и $b$);

2) лежат по одну сторону от секущей $c$.

Внутренними накрест лежащими (или просто накрест лежащими) углами называются два угла, которые:

1) лежат во внутренней области (между прямыми $a$ и $b$);

2) лежат по разные стороны от секущей $c$.

Ответ: Внутренние односторонние углы лежат между двумя прямыми по одну сторону от секущей. Внутренние накрест лежащие углы лежат между двумя прямыми по разные стороны от секущей.

4. В той же ситуации, когда две прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$, соответственными углами называются два угла, которые:

1) лежат по одну сторону от секущей $c$;

2) один из углов лежит во внутренней области (между прямыми $a$ и $b$), а другой — во внешней;

3) расположены "одинаково" относительно прямых $a$ и $b$. Например, оба угла находятся сверху от своих прямых ($a$ и $b$) и слева от секущей $c$.

Ответ: Соответственные углы — это пары углов, занимающие одинаковое положение относительно каждой из пересекаемых прямых и секущей.

5. Существует три основных признака параллельности двух прямых, основанных на свойствах углов, образованных при пересечении этих прямых секущей.

Признак 1 (по накрест лежащим углам)

Формулировка: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство: Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются секущей $c$ в точках $A$ и $B$ соответственно, и пусть образовавшиеся накрест лежащие углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны ($\angle 1 = \angle 2$). Докажем от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке $M$. В этом случае точки $A$, $B$ и $M$ образуют треугольник $\triangle ABM$. В этом треугольнике один из углов (пусть это будет $\angle 1$) является внешним углом для треугольника, а угол $\angle 2$ — внутренним углом, не смежным с ним. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Следовательно, должно выполняться неравенство $\angle 1 > \angle 2$. Однако это противоречит нашему условию, что $\angle 1 = \angle 2$. Полученное противоречие означает, что наше предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, неверно. Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны. $a \parallel b$.

Признак 2 (по соответственным углам)

Формулировка: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство: Пусть при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$ равны соответственные углы $\angle 1$ и $\angle 2$. Угол $\angle 1$ и смежный с ним по вершине (вертикальный) угол $\angle 3$ равны, то есть $\angle 1 = \angle 3$. Угол $\angle 3$ и угол $\angle 2$ являются накрест лежащими. Из условий $\angle 1 = \angle 2$ (по условию) и $\angle 1 = \angle 3$ (как вертикальные) следует, что $\angle 2 = \angle 3$. Таким образом, накрест лежащие углы равны. По первому признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $a \parallel b$.

Признак 3 (по внутренним односторонним углам)

Формулировка: Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Доказательство: Пусть при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$ сумма внутренних односторонних углов $\angle 1$ и $\angle 2$ равна $180^\circ$, то есть $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Рассмотрим угол $\angle 3$, смежный с углом $\angle 2$. По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$, то есть $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. Сравнивая два полученных равенства, имеем: $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$. Отсюда следует, что $\angle 1 = \angle 3$. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются накрест лежащими. Так как накрест лежащие углы оказались равны, то по первому признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны. Следовательно, $a \parallel b$.

Ответ: Три признака параллельности прямых: 1) Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2) Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3) Если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.