Номер 4, страница 55 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4. Доказать: $\triangle MPN = \triangle LPK.$

Рассмотрим треугольники $\triangle MPN$ и $\triangle LPK$. Для доказательства их равенства сравним их соответствующие элементы на основе данных с чертежа.

1. Из условия, отмеченного на чертеже одинаковыми штрихами, следует, что сторона $NP$ треугольника $\triangle MPN$ равна стороне $PK$ треугольника $\triangle LPK$: $NP = PK$.

2. Из условия, отмеченного на чертеже одинаковыми дугами с черточкой, следует, что угол $\angle MNP$ треугольника $\triangle MPN$ равен углу $\angle LKP$ треугольника $\triangle LPK$: $\angle MNP = \angle LKP$. Этот угол является прилежащим к стороне $NP$ в первом треугольнике и к стороне $PK$ во втором.

3. Углы $\angle MPN$ и $\angle LPK$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $ML$ и $NK$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle MPN = \angle LPK$. Этот угол также является прилежащим к стороне $NP$ в первом треугольнике и к стороне $PK$ во втором.

Таким образом, мы имеем равенство стороны и двух прилежащих к ней углов в рассматриваемых треугольниках. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник $\triangle MPN$ равен треугольнику $\triangle LPK$.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $\triangle MPN$ и $\triangle LPK$ равны по второму признаку равенства треугольников, так как $NP = PK$ (по условию), $\angle MNP = \angle LKP$ (по условию) и $\angle MPN = \angle LPK$ (как вертикальные углы).