Номер 2.61, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.61. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $\text{AC}$ проведена медиана $\text{BD}$. На сторонах $\text{AB}$ и $\text{BC}$ отмечены соответственно точки $\text{E}$ и $\text{F}$ так, что $AE = CF$. Докажите, что:

1) $\triangle BDE = \triangle BDF$;

2) $\triangle ADE = \triangle CDF$.

Дано: $ΔABC$ - равнобедренный, $AB = BC$, $AC$ - основание. $BD$ - медиана. $E \in AB$, $F \in BC$, $AE = CF$.

Доказать: 1) $ΔBDE = ΔBDF$; 2) $ΔADE = ΔCDF$.

1) Доказательство равенства $ΔBDE$ и $ΔBDF$.

Рассмотрим треугольники $ΔBDE$ и $ΔBDF$.

Поскольку $ΔABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

По условию задачи дано, что $AE = CF$.

Найдем длины отрезков $BE$ и $BF$:

$BE = AB - AE$

$BF = BC - CF$

Так как $AB = BC$ и $AE = CF$, то $BE = BF$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и биссектрисой угла при вершине. Следовательно, $BD$ делит угол $∠ABC$ пополам, то есть $∠ABD = ∠CBD$. Поскольку точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, то $∠EBD = ∠FBD$.

Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников ($ΔBDE$ и $ΔBDF$).

Таким образом, мы имеем три условия для равенства треугольников $ΔBDE$ и $ΔBDF$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними):

1. $BE = BF$ (по доказанному выше).

2. $∠EBD = ∠FBD$ ($BD$ - биссектриса).

3. $BD$ - общая сторона.

Следовательно, $ΔBDE = ΔBDF$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Доказательство равенства $ΔADE$ и $ΔCDF$.

Рассмотрим треугольники $ΔADE$ и $ΔCDF$.

По условию $BD$ - медиана к основанию $AC$. По определению медианы, она делит сторону $AC$ на два равных отрезка. Следовательно, $AD = DC$.

По условию задачи $AE = CF$.

В равнобедренном треугольнике $ΔABC$ углы при основании $AC$ равны, то есть $∠BAC = ∠BCA$. Учитывая расположение точек $E$ и $F$, это можно записать как $∠EAD = ∠FCD$.

Таким образом, мы имеем три условия для равенства треугольников $ΔADE$ и $ΔCDF$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними):

1. $AE = CF$ (по условию).

2. $∠EAD = ∠FCD$ (как углы при основании равнобедренного треугольника).

3. $AD = DC$ ($BD$ - медиана).

Следовательно, $ΔADE = ΔCDF$.

Ответ: Что и требовалось доказать.