Номер 2.56, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.56. Треугольники $PRQ$ и $PKQ$ расположены так, что имеют общую сторону $\text{PQ}$, а вершины $\text{R}$ и $\text{K}$ находятся по разные стороны относительно прямой $\text{PQ}$. Докажите, что луч $\text{PQ}$ является биссектрисой угла $KPR$, если $PR = PK$, $QR = QK$ (рис. 2.34).

Рис. 2.34

Рассмотрим треугольники $PRQ$ и $PKQ$.

Для этих треугольников выполняются следующие равенства сторон:

• $PR = PK$ (по условию задачи);

• $QR = QK$ (по условию задачи);

• $PQ$ - общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $PRQ$ равен треугольнику $PKQ$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Формально: $\triangle PRQ \cong \triangle PKQ$.

Из равенства треугольников следует, что их соответственные элементы (в том числе углы) равны. В частности, угол $\angle RPQ$ в треугольнике $PRQ$ равен углу $\angle KPQ$ в треугольнике $PKQ$, так как они лежат напротив равных сторон $QR$ и $QK$ соответственно. То есть, $\angle RPQ = \angle KPQ$.

По определению, луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла, называется биссектрисой угла. Поскольку луч $PQ$ делит угол $KPR$ на два равных угла $\angle RPQ$ и $\angle KPQ$, он является его биссектрисой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основании равенства треугольников $PRQ$ и $PKQ$ по трем сторонам, следует равенство соответствующих углов $\angle RPQ = \angle KPQ$, что доказывает, что луч $PQ$ является биссектрисой угла $KPR$.