Номер 2.59, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.59. Докажите, что в каждом равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны ($AB=BC$), а углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$).

Проведём биссектрисы $AM$ к боковой стороне $BC$ и $CN$ к боковой стороне $AB$. Требуется доказать, что длины этих биссектрис равны, то есть $AM = CN$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ANC$ и $\triangle CMA$.

1. Сторона $AC$ у них общая.

2. $\angle NAC = \angle MCA$, так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$ (поскольку $\angle NAC$ это $\angle BAC$, а $\angle MCA$ это $\angle BCA$).

3. Так как $AM$ и $CN$ являются биссектрисами, они делят равные углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ пополам. Следовательно, $\angle MAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ и $\angle NCA = \frac{1}{2}\angle BCA$. Из того, что $\angle BAC = \angle BCA$, следует, что $\angle MAC = \angle NCA$.

Таким образом, треугольники $\triangle ANC$ и $\triangle CMA$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников ($\triangle ANC \cong \triangle CMA$) следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AM$ в треугольнике $\triangle CMA$ соответствует стороне $CN$ в треугольнике $\triangle ANC$. Следовательно, $AM = CN$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны.