Номер 2.58, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.58. Докажите, что треугольник – равнобедренный, если:

1) его медиана является высотой;

2) его высота является биссектрисой.

1) Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ является медианой, проведенной к стороне $AC$, и одновременно высотой.

Так как $BM$ — медиана, то она делит сторону $AC$ пополам, то есть $AM = MC$.

Так как $BM$ — высота, то она перпендикулярна стороне $AC$, то есть $\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

В этих треугольниках:

- $AM = MC$ (по условию, что $BM$ — медиана).

- $\angle BMA = \angle BMC$ (по условию, что $BM$ — высота).

- $BM$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABM = \triangle CBM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон: $AB = BC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным.

Ответ: Доказано.

2) Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $BH$ является высотой, проведенной к стороне $AC$, и одновременно биссектрисой угла $\angle ABC$.

Так как $BH$ — высота, то она перпендикулярна стороне $AC$, то есть $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$.

Так как $BH$ — биссектриса, то она делит угол $\angle ABC$ пополам, то есть $\angle ABH = \angle CBH$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.

В этих треугольниках:

- $\angle ABH = \angle CBH$ (по условию, что $BH$ — биссектриса).

- $BH$ — общая сторона.

- $\angle BHA = \angle BHC$ (по условию, что $BH$ — высота).

Следовательно, $\triangle ABH = \triangle CBH$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон: $AB = BC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным.

Ответ: Доказано.