Номер 2.55, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.55. $\text{AN}$ является медианой равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $\text{BC}$. Найдите $\text{AN}$, если периметр треугольника $ABC$ равен 32 см, а периметр треугольника $ABN$ равен 24 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = AC$.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин всех его сторон. $P_{ABC} = AB + AC + BC$. Поскольку $AB = AC$, можно записать: $P_{ABC} = 2 \cdot AB + BC$. Согласно условию, $P_{ABC} = 32$ см, следовательно: $2 \cdot AB + BC = 32$.

$AN$ — медиана, проведенная к основанию $BC$. Это означает, что точка $N$ делит сторону $BC$ на два равных отрезка: $BN = NC = \frac{1}{2}BC$. Из этого равенства следует, что $BC = 2 \cdot BN$.

Теперь подставим $BC = 2 \cdot BN$ в уравнение для периметра треугольника $ABC$: $2 \cdot AB + 2 \cdot BN = 32$. Разделив обе части уравнения на 2, получим: $AB + BN = 16$.

Рассмотрим периметр треугольника $ABN$ ($P_{ABN}$). Он равен сумме длин его сторон: $P_{ABN} = AB + BN + AN$. По условию, $P_{ABN} = 24$ см, значит: $AB + BN + AN = 24$.

В левой части этого уравнения есть сумма $AB + BN$, значение которой мы уже нашли: $AB + BN = 16$. Подставим это значение в уравнение: $16 + AN = 24$.

Из последнего уравнения находим длину медианы $AN$: $AN = 24 - 16 = 8$ см.

Ответ: 8 см.