Номер 2.48, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.48. Отрезки $\text{AB}$ и $\text{PQ}$ пересекаются так, что $AP = AQ$ и $BP = BQ$. Докажите, что луч $\text{AB}$ является биссектрисой угла $PAQ$.

Для доказательства утверждения рассмотрим треугольники $ \triangle APB $ и $ \triangle AQB $.

По условию задачи даны следующие равенства сторон:

1. $ AP = AQ $

2. $ BP = BQ $

Кроме того, сторона $ AB $ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $ \triangle APB $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle AQB $. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольники $ \triangle APB $ и $ \triangle AQB $ равны.

$ \triangle APB = \triangle AQB $

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $ \angle PAB $ в треугольнике $ \triangle APB $ лежит напротив стороны $ BP $. Угол $ \angle QAB $ в треугольнике $ \triangle AQB $ лежит напротив стороны $ BQ $. Поскольку по условию стороны $ BP $ и $ BQ $ равны, то и противолежащие им углы также равны:

$ \angle PAB = \angle QAB $

По определению, луч, делящий угол на два равных угла, является его биссектрисой. Так как луч $ AB $ делит угол $ \angle PAQ $ на два равных угла ($ \angle PAB $ и $ \angle QAB $), он является биссектрисой угла $ \angle PAQ $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.