Номер 2.43, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.43. Точки А и С лежат по разные стороны от прямой $\text{a}$. Перпендикуляры $\text{AB}$ и $\text{CD}$ к прямой $\text{a}$ равны. 1) Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CDB$. 2) Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADB = 44^\circ$.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta ABD$ и $\Delta CDB$.

По условию, $AB$ и $CD$ — перпендикуляры к прямой $a$, на которой лежат точки $B$ и $D$. Следовательно, $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle CDB = 90^\circ$.

В этих треугольниках:

1. $AB = CD$ (по условию, как равные перпендикуляры).

2. $BD$ — общая сторона.

Таким образом, треугольники $\Delta ABD$ и $\Delta CDB$ равны по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\Delta ABD = \Delta CDB$ доказано.

2) Из доказанного в пункте 1 равенства треугольников $\Delta ABD = \Delta CDB$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их углы: $\angle CBD = \angle ADB$.

По условию задачи дано, что $\angle ADB = 44^\circ$, следовательно, $\angle CBD = 44^\circ$.

Угол $\angle ABC$ образован лучами $BA$ и $BC$. Так как точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $a$ (содержащей отрезок $BD$), то угол $\angle ABC$ равен сумме углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$.

$\angle ABD = 90^\circ$ (так как $AB$ — перпендикуляр к прямой $a$).

Найдем искомый угол:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 90^\circ + 44^\circ = 134^\circ$.

Ответ: $134^\circ$.