Номер 2.50, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.50. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $\text{BC}$ на медиане $\text{AD}$ отмечена точка $\text{E}$. Докажите, что:

1) $\Delta ABE = \Delta AEC$;

2) $\Delta BED = \Delta CED$.

1) $ \triangle ABE = \triangle AEC $

Рассмотрим $ \triangle ABC $. По условию он является равнобедренным с основанием $ BC $, следовательно, его боковые стороны равны: $ AB = AC $.

$ AD $ — медиана, проведенная к основанию $ BC $. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и биссектрисой.

Так как $ AD $ является биссектрисой угла $ \angle BAC $, она делит этот угол на два равных: $ \angle BAD = \angle CAD $. Поскольку точка $ E $ лежит на отрезке $ AD $, то $ \angle BAE = \angle CAE $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABE $ и $ \triangle AEC $. У них:

1. $ AB = AC $ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).

2. $ \angle BAE = \angle CAE $ (так как $ AD $ — биссектриса).

3. $ AE $ — общая сторона.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle ABE = \triangle AEC $.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $ \triangle BED = \triangle CED $

Рассмотрим треугольники $ \triangle BED $ и $ \triangle CED $.

1. $ BD = CD $, поскольку $ AD $ — медиана, проведенная к стороне $ BC $, и точка $ D $ является ее серединой.

2. $ BE = CE $, поскольку это соответственные стороны в равных треугольниках $ \triangle ABE $ и $ \triangle AEC $, равенство которых было доказано в пункте 1.

3. $ ED $ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, все три стороны треугольника $ \triangle BED $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle CED $.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $ \triangle BED = \triangle CED $.

Ответ: Что и требовалось доказать.