Номер 2.49, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.49. Используя условие задачи 2.48, докажите, что $AB \perp PQ$. Отрезки $\text{AB}$ и $\text{PQ}$ пересекаются так, что $AP = AQ$ и $BP = BQ$. Докажите, что луч $\text{AB}$ является биссектрисой угла $PAQ$.

Докажите, что луч АВ является биссектрисой угла PAQ.

Рассмотрим треугольники $ΔAPB$ и $ΔAQB$. По условию задачи известно, что $AP = AQ$ и $BP = BQ$. Сторона $AB$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, треугольники $ΔAPB$ и $ΔAQB$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол, лежащий напротив стороны $BP$ в $ΔAPB$, равен углу, лежащему напротив равной ей стороны $BQ$ в $ΔAQB$. То есть, $\angle PAB = \angle QAB$. По определению, луч, который делит угол на два равных угла, является его биссектрисой. Следовательно, луч $AB$ является биссектрисой угла $PAQ$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.49. Используем условие и результат предыдущей задачи. Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $AB$ и $PQ$. Рассмотрим треугольники $ΔAOP$ и $ΔAOQ$. В этих треугольниках сторона $AP$ равна стороне $AQ$ по условию. Сторона $AO$ является общей. Угол $\angle PAO$ равен углу $\angle QAO$, так как из предыдущей задачи доказано, что $AB$ — биссектриса угла $PAQ$. Следовательно, $ΔAOP \cong ΔAOQ$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны: $\angle AOP = \angle AOQ$. Углы $\angle AOP$ и $\angle AOQ$ являются смежными, так как точки $P$, $O$, $Q$ лежат на одной прямой и вместе они образуют развернутый угол. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, то есть $\angle AOP + \angle AOQ = 180^\circ$. Поскольку эти углы равны, имеем $2 \cdot \angle AOP = 180^\circ$, откуда $\angle AOP = 90^\circ$. Это означает, что прямые $AB$ и $PQ$ пересекаются под прямым углом, то есть они перпендикулярны: $AB \perp PQ$.

Ответ: Что и требовалось доказать.