Номер 2.54, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.54. Докажите, что в равностороннем треугольнике:

1) все три угла равны;

2) все три медианы равны.

1) Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. По определению, все его стороны равны: $AB = BC = CA$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB = BC$, он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

С другой стороны, так как $BC = CA$, треугольник $ABC$ также является равнобедренным с основанием $AB$. Следовательно, углы при этом основании равны: $\angle ABC = \angle BAC$.

Из полученных равенств ($\angle BAC = \angle BCA$ и $\angle ABC = \angle BAC$) следует, что все три угла равны между собой: $\angle ABC = \angle BCA = \angle BAC$.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Пусть в равностороннем треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$, $BN$ и $CK$.

Из определения равностороннего треугольника имеем $AB = BC = CA$.

Из пункта 1 мы знаем, что все углы в равностороннем треугольнике равны: $\angle A = \angle B = \angle C$.

По определению, медианы делят противоположные стороны пополам. Значит, точки $M$, $N$, $K$ являются серединами сторон $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Так как стороны $AB, BC, CA$ равны, то равны и их половины: $BM = MC = CN = NA = AK = KB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle BCN$. В них:

- $AB = BC$ (как стороны равностороннего треугольника).

- $BM = CN$ (как половины равных сторон $BC$ и $CA$).

- $\angle B = \angle C$ (как углы равностороннего треугольника).

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle BCN$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AM = BN$.

Аналогично рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle CAK$. В них:

- $BC = CA$.

- $CN = AK$.

- $\angle C = \angle A$.

Следовательно, $\triangle BCN \cong \triangle CAK$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда получаем, что $BN = CK$.

Объединяя полученные результаты, $AM = BN$ и $BN = CK$, приходим к выводу, что $AM = BN = CK$.

Ответ: что и требовалось доказать.