Номер 2.57, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.57. $\text{AB}$ является общим основанием равнобедренных треугольников $ABC$ и $ABD$, а вершины $\text{C}$ и $\text{D}$ находятся по разные стороны от прямой $\text{AB}$. Докажите, что отрезки $\text{AB}$ и $\text{CD}$ перпендикулярны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством серединного перпендикуляра к отрезку.

Доказательство:

1. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AC = BC$. Таким образом, точка $C$ равноудалена от концов отрезка $AB$.

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

3. Аналогично, по условию, треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AD = BD$. Таким образом, точка $D$ также равноудалена от концов отрезка $AB$.

4. Следовательно, точка $D$ также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

5. Через две различные точки (в данном случае $C$ и $D$) можно провести только одну прямую. Так как обе эти точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, то прямая $CD$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

6. По определению серединного перпендикуляра, прямая $CD$ перпендикулярна отрезку $AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о перпендикулярности отрезков $AB$ и $CD$ доказано.