Номер 2.60, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.60. Докажите, что в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, а напротив большей стороны – больший угол.

в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть в этом треугольнике один из углов больше другого, например, $\angle B > \angle C$. Докажем, что сторона $AC$, противолежащая углу $B$, больше стороны $AB$, противолежащей углу $C$.

Отложим от луча $CB$ внутрь угла $ABC$ угол $CBD$, равный углу $C$. Поскольку $\angle ABC > \angle C$, луч $BD$ пройдет между сторонами угла $ABC$ и пересечет сторону $AC$ в некоторой точке $D$.

Рассмотрим получившийся треугольник $DBC$. В нем по построению $\angle DBC = \angle BCD$ (то есть $\angle C$). Следовательно, треугольник $DBC$ является равнобедренным, и его боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $BD = DC$.

Теперь применим неравенство треугольника к треугольнику $ABD$. Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны. Для $\triangle ABD$ справедливо неравенство: $AD + BD > AB$.

Заменим в этом неравенстве отрезок $BD$ на равный ему отрезок $DC$: $AD + DC > AB$.

Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AC$, то сумма длин отрезков $AD$ и $DC$ равна длине стороны $AC$, то есть $AD + DC = AC$.

Подставив это в неравенство, получаем: $AC > AB$.

Таким образом, доказано, что напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Ответ: Утверждение доказано.

а напротив большей стороны – больший угол

Теперь докажем обратное утверждение. Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AC$ больше стороны $AB$. Докажем, что угол $B$, противолежащий стороне $AC$, больше угла $C$, противолежащего стороне $AB$.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что $\angle B$ не больше $\angle C$. Тогда возможны два варианта: либо $\angle B = \angle C$, либо $\angle B < \angle C$.

Рассмотрим оба этих случая:

1. Если $\angle B = \angle C$, то по признаку равнобедренного треугольника, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны. То есть, $AC = AB$. Это противоречит исходному условию $AC > AB$.

2. Если $\angle B < \angle C$, то согласно доказанному в первой части (напротив большего угла лежит большая сторона), сторона $AB$, лежащая напротив большего угла $C$, должна быть больше стороны $AC$, лежащей напротив меньшего угла $B$. То есть, $AB > AC$. Это также противоречит исходному условию $AC > AB$.

Оба возможных случая приводят к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $\angle B$ не больше $\angle C$, является ложным. Значит, верным может быть только то, что $\angle B > \angle C$.

Таким образом, доказано, что напротив большей стороны в треугольнике лежит больший угол.

Ответ: Утверждение доказано.