Номер 2.62, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.62. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если равны их основания и высоты, проведенные к основаниям.

Доказательство:

Пусть даны два равнобедренных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Пусть $AC$ и $A_1C_1$ — их основания, а $BH$ и $B_1H_1$ — высоты, проведенные к этим основаниям.

По условию задачи:

1. $AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$ (так как треугольники равнобедренные).
2. $AC = A_1C_1$ (основания равны).
3. $BH = B_1H_1$ (высоты к основаниям равны).

Нужно доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, $H$ — середина $AC$, а $H_1$ — середина $A_1C_1$.

Это означает, что $AH = HC = \frac{1}{2} AC$ и $A_1H_1 = H_1C_1 = \frac{1}{2} A_1C_1$.

Поскольку по условию $AC = A_1C_1$, то и их половины равны: $AH = A_1H_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$, так как $BH$ — высота). По теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Так как $AH = \frac{1}{2} AC$, то:

$AB^2 = (\frac{AC}{2})^2 + BH^2$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $A_1B_1H_1$:

$A_1B_1^2 = A_1H_1^2 + B_1H_1^2$

Так как $A_1H_1 = \frac{1}{2} A_1C_1$, то:

$A_1B_1^2 = (\frac{A_1C_1}{2})^2 + B_1H_1^2$

Сравним правые части этих двух выражений. Нам известно, что $AC = A_1C_1$ и $BH = B_1H_1$. Следовательно, правые части равны:

$(\frac{AC}{2})^2 + BH^2 = (\frac{A_1C_1}{2})^2 + B_1H_1^2$

Отсюда следует, что $AB^2 = A_1B_1^2$, а значит $AB = A_1B_1$ (так как длины сторон — положительные величины).

Поскольку треугольники равнобедренные, то $BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$. Таким образом, $BC = B_1C_1$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ по трем сторонам:

• $AB = A_1B_1$ (доказано выше)
• $BC = B_1C_1$ (доказано выше)
• $AC = A_1C_1$ (по условию)

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Два равнобедренных треугольника равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как их боковые стороны и основания соответственно равны, что следует из равенства оснований и высот, проведенных к ним.