Номер 2.64, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.64*. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые эта медиана делит угол.

Пусть даны два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. В $\triangle ABC$ проведена медиана $AM$, а в $\triangle A_1B_1C_1$ — медиана $A_1M_1$.

По условию задачи нам дано:

• Длины медиан равны: $AM = A_1M_1$.
• Углы, на которые медиана делит угол при вершине, попарно равны: $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$ и $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$.

Необходимо доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Для доказательства применим метод дополнительного построения.

1. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину, получив точку $D$ так, что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с точками $B$ и $C$. Аналогично, продлим медиану $A_1M_1$ за точку $M_1$ на ее длину, получив точку $D_1$ так, что $A_1M_1 = M_1D_1$. Соединим точку $D_1$ с точками $B_1$ и $C_1$.
2. Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению $AM = MD$. Поскольку $AM$ — медиана, то $BM = MC$. Четырехугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABDC$ — параллелограмм. Аналогично, четырехугольник $A_1B_1D_1C_1$ также является параллелограммом.
3. Из свойств параллелограмма $ABDC$ следует, что его противолежащие стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AD$. Внутренние накрест лежащие углы при секущей равны, следовательно, $\angle BAM = \angle CDA$.
4. Теперь сравним треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle A_1C_1D_1$. У них:
   • Сторона $AD = AM + MD = 2AM$. Аналогично, $A_1D_1 = 2A_1M_1$. Так как по условию $AM = A_1M_1$, то $AD = A_1D_1$.
   • Угол $\angle CAD$ совпадает с углом $\angle CAM$. По условию $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$. Таким образом, $\angle CAD = \angle C_1A_1D_1$.
   • Как мы показали в пункте 3, $\angle CDA = \angle BAM$. Для второго параллелограмма аналогично $\angle C_1D_1A_1 = \angle B_1A_1M_1$. По условию $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$. Отсюда следует, что $\angle CDA = \angle C_1D_1A_1$.
   Таким образом, $\triangle ACD \cong \triangle A_1C_1D_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
5. Из равенства треугольников $\triangle ACD \cong \triangle A_1C_1D_1$ следует равенство их соответствующих сторон: $AC = A_1C_1$ и $CD = C_1D_1$.
6. Из свойств параллелограмма $ABDC$ мы знаем, что $CD = AB$. Аналогично, в параллелограмме $A_1B_1D_1C_1$ сторона $C_1D_1 = A_1B_1$. Так как $CD = C_1D_1$, то и $AB = A_1B_1$.
7. Теперь вернемся к исходным треугольникам $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы показали, что $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$. Угол между этими сторонами в $\triangle ABC$ равен $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM$. В $\triangle A_1B_1C_1$ угол $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1A_1M_1 + \angle C_1A_1M_1$. Поскольку по условию задачи слагаемые углы попарно равны, то и $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Итак, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ две стороны и угол между ними соответственно равны. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Равенство треугольников по медиане и углам, на которые эта медиана делит угол, доказано.