Номер 2.53, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.53. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$ и $\text{BD}$ — биссектриса. Найдите:

1) $\angle BCA$, если угол, смежный с углом при вершине $\text{A}$, равен $130^\circ$;

2) периметр треугольника $ABC$, если $AB = 5$ см, $AD = 2$ см.

1) По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

Угол, смежный с углом при вершине $A$ (т.е. с $\angle BAC$), и сам угол $\angle BAC$ в сумме составляют $180^\circ$. Так как смежный угол равен $130^\circ$, мы можем найти $\angle BAC$:

$\angle BAC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны, то $\angle BCA = \angle BAC$.

Следовательно, $\angle BCA = 50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$.

2) По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB = BC$), а $BD$ — его биссектриса. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой.

Поскольку $BD$ является медианой, она делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AD = DC$.

Из условия известно, что $AD = 2$ см. Значит, $DC = 2$ см.

Длина основания $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DC$:

$AC = AD + DC = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

По условию, боковая сторона $AB = 5$ см. Так как треугольник равнобедренный, то $BC = AB = 5$ см.

Периметр треугольника $ABC$ (обозначим его $P_{ABC}$) равен сумме длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 4 \text{ см} = 14 \text{ см}$.

Ответ: 14 см.