Номер 2.52, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.52. Отрезки $\text{AB}$ и $\text{CD}$ пересекаются в точке $\text{O}$. Докажите, что $\triangle ACO = \triangle BDO$, если $AO = BO$ и $\angle CAO = \angle DBO$.

Для доказательства равенства треугольников $ΔACO$ и $ΔBDO$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников, который гласит: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники $ΔACO$ и $ΔBDO$.

1. Сторона $AO$ треугольника $ΔACO$ равна стороне $BO$ треугольника $ΔBDO$ по условию задачи: $AO = BO$.

2. Угол $∠CAO$, прилежащий к стороне $AO$, равен углу $∠DBO$, прилежащему к стороне $BO$, по условию задачи: $∠CAO = ∠DBO$.

3. Углы $∠AOC$ и $∠BOD$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением отрезков $AB$ и $CD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠AOC = ∠BOD$. Эти углы также прилежат к сторонам $AO$ и $BO$ соответственно.

Таким образом, мы имеем сторону и два прилежащих к ней угла в $ΔACO$ (сторона $AO$ и углы $∠CAO$ и $∠AOC$), которые соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам в $ΔBDO$ (сторона $BO$ и углы $∠DBO$ и $∠BOD$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $ΔACO = ΔBDO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔACO$ и $ΔBDO$ доказано на основе второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).