Номер 2.47, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.47. Через середину $\text{C}$ отрезка $\text{AB}$ проведена прямая, перпендикулярная этому отрезку. Докажите, что любая точка этой прямой равноудалена от точек $\text{A}$ и $\text{B}$.

Дано:

Отрезок $AB$.

Точка $C$ — середина отрезка $AB$, следовательно $AC = CB$.

Прямая $l$, такая что $C \in l$ и $l \perp AB$.

Доказать:

Для любой точки $M$, принадлежащей прямой $l$ ($M \in l$), выполняется равенство $MA = MB$.

Доказательство:

Возьмём произвольную точку $M$ на прямой $l$ и соединим её с точками $A$ и $B$. Рассмотрим треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AC$ равна стороне $BC$ ($AC = CB$), так как по условию точка $C$ является серединой отрезка $AB$.

2. Угол $\angle ACM$ равен углу $\angle BCM$ ($\angle ACM = \angle BCM = 90^\circ$), так как по условию прямая $l$ перпендикулярна отрезку $AB$.

3. Сторона $CM$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $\triangle ACM$ равен треугольнику $\triangle BCM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $MA$ треугольника $\triangle ACM$ равна стороне $MB$ треугольника $\triangle BCM$. Следовательно, $MA = MB$.

Так как точка $M$ была выбрана на прямой $l$ произвольно, данное утверждение верно для любой точки этой прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что любая точка прямой, проведённой через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку, равноудалена от его концов.