Номер 2.44, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.44. Медиана $\text{AD}$ треугольника $ABC$ продолжена за сторону $\text{BC}$. На продолжении медианы взята точка $\text{E}$ так, что $DE = AD$, и она соединена с точкой $\text{C}$.

1) Докажите, что $\triangle ABD = \triangle ECD$.

2) Найдите $\angle ACE$, если $\angle ACD = 56^\circ$, $\angle ABD = 40^\circ$ (рис. 2.33).

Рис. 2.33

1) Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ECD $.

Для доказательства их равенства сравним следующие элементы:

1. Сторона $ AD $ равна стороне $ DE $ по условию задачи ($ AD = DE $).

2. Сторона $ BD $ равна стороне $ CD $, так как $ AD $ является медианой треугольника $ \triangle ABC $, которая по определению делит сторону $ BC $ пополам ($ BD = CD $).

3. Угол $ \angle ADB $ равен углу $ \angle CDE $, так как эти углы являются вертикальными.

Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $ \triangle ABD $ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $ \triangle ECD $. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle ABD = \triangle ECD $.

Ответ: Равенство $ \triangle ABD = \triangle ECD $ доказано.

2) Угол $ \angle ACE $ является суммой двух углов: $ \angle ACD $ и $ \angle DCE $. То есть, $ \angle ACE = \angle ACD + \angle DCE $.

Из условия задачи нам известно, что $ \angle ACD = 56^\circ $.

Из равенства треугольников $ \triangle ABD = \triangle ECD $, доказанного в первом пункте, следует равенство их соответственных углов. Углу $ \angle ABD $ в треугольнике $ \triangle ABD $ соответствует угол $ \angle ECD $ в треугольнике $ \triangle ECD $.

По условию задачи $ \angle ABD = 40^\circ $.

Следовательно, $ \angle ECD = \angle ABD = 40^\circ $.

Теперь мы можем найти величину угла $ \angle ACE $, сложив величины углов $ \angle ACD $ и $ \angle ECD $:

$ \angle ACE = 56^\circ + 40^\circ = 96^\circ $.

Ответ: $ 96^\circ $.