Номер 2.42, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.42. $\text{ON}$ – биссектриса прямого угла $AOB$, $\text{OK}$ и $\text{OP}$ – биссектрисы углов $AON$ и $NOB$ соответственно. Найдите угол $KOP$ (рис. 2.32).

Рис. 2.32

Угол $ \angle KOP $ состоит из двух смежных углов, $ \angle KON $ и $ \angle NOP $, поэтому его величина равна сумме их величин: $ \angle KOP = \angle KON + \angle NOP $.

По условию задачи, луч $OK$ является биссектрисой угла $AON$. Биссектриса делит угол пополам, следовательно, $ \angle KON = \frac{1}{2} \angle AON $.

Аналогично, луч $OP$ является биссектрисой угла $NOB$, поэтому $ \angle NOP = \frac{1}{2} \angle NOB $.

Подставим эти выражения в формулу для угла $ \angle KOP $:

$ \angle KOP = \frac{1}{2} \angle AON + \frac{1}{2} \angle NOB $

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:

$ \angle KOP = \frac{1}{2} (\angle AON + \angle NOB) $

Углы $ \angle AON $ и $ \angle NOB $ вместе образуют угол $ \angle AOB $, так как луч $ON$ проходит между его сторонами. Значит, $ \angle AON + \angle NOB = \angle AOB $.

Таким образом, получаем:

$ \angle KOP = \frac{1}{2} \angle AOB $

Из условия известно, что угол $AOB$ — прямой, то есть его градусная мера равна $90^\circ$.

$ \angle KOP = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ $.

Ответ: $45^\circ$.