Номер 3.18, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.18. Через точку, не лежащую на прямой $\text{a}$, проведены три прямые. Докажите, что, по крайней мере, две из них пересекают прямую $\text{a}$.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на этой прямой ($M \notin a$). Через точку $M$ проведены три различные прямые, обозначим их $b$, $c$ и $d$. Необходимо доказать, что как минимум две из этих прямых пересекают прямую $a$.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть менее двух прямых из $b, c, d$ пересекают прямую $a$. Это означает, что прямую $a$ пересекает одна прямая или ни одной. Следовательно, как минимум две из трех прямых ($b, c, d$) не пересекают прямую $a$.

Две прямые на плоскости не пересекаются только в том случае, если они параллельны. Таким образом, наше предположение означает, что по крайней мере две из трех прямых, проходящих через точку $M$, параллельны прямой $a$.

Однако это противоречит аксиоме о параллельных прямых (V постулату Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Поскольку все три прямые $b$, $c$ и $d$ проходят через одну и ту же точку $M$, только одна из них может быть параллельна прямой $a$. Две другие прямые не могут быть параллельны прямой $a$, и, следовательно, должны ее пересекать.

Рассмотрим возможные варианты:

• Если одна из трех прямых (например, $b$) параллельна прямой $a$, то две другие ($c$ и $d$) не могут быть ей параллельны, а значит, они пересекают прямую $a$. В этом случае ровно две прямые пересекают $a$.
• Если ни одна из трех прямых не параллельна прямой $a$, то все три прямые ($b$, $c$ и $d$) пересекают прямую $a$.

В любом случае, как минимум две прямые из трех пересекают прямую $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку $M$ может проходить не более одной прямой, параллельной прямой $a$. Следовательно, остальные прямые (которых как минимум две) обязаны пересекать прямую $a$.