Номер 3.13, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.13. Прямая $\text{a}$ пересекает отрезок $\text{AB}$ в точке $\text{O}$, которая являются серединой отрезка $\text{AB}$. Расстояние от точки $\text{A}$ до прямой $\text{a}$ равно 5 см. Каково расстояние от точки $\text{B}$ до прямой $\text{a}$?

Пусть из точки A на прямую a опущен перпендикуляр AH, а из точки B — перпендикуляр BK. Длина перпендикуляра от точки до прямой является расстоянием от этой точки до прямой. По условию, расстояние от точки A до прямой a равно 5 см, следовательно, длина отрезка AH равна 5 см. Нам необходимо найти длину отрезка BK, который представляет собой расстояние от точки B до прямой a.

Рассмотрим треугольники $ΔAOH$ и $ΔBOK$.

Эти треугольники являются прямоугольными, так как AH и BK — перпендикуляры к прямой a. Следовательно, $∠AHO = 90°$ и $∠BKO = 90°$.

Гипотенуза AO треугольника $ΔAOH$ равна гипотенузе BO треугольника $ΔBOK$ ($AO = BO$), так как по условию точка O является серединой отрезка AB.

Углы $∠AOH$ и $∠BOK$ равны, поскольку они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых AB и a.

Таким образом, прямоугольные треугольники $ΔAOH$ и $ΔBOK$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности, катетов: $AH = BK$.

Так как по условию $AH = 5$ см, то и $BK = 5$ см.

Ответ: 5 см.