Номер 3.46, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.46. В треугольнике АВС медиана AD равна половине стороны ВС. Найдите градусную меру угла А.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $AD$ к стороне $BC$.

По определению медианы, точка $D$ является серединой отрезка $BC$. Это означает, что $BD = DC$.

Из условия задачи известно, что медиана $AD$ равна половине стороны $BC$. Запишем это в виде равенства: $AD = \frac{1}{2}BC$.

Так как $BC = BD + DC$ и $BD = DC$, то $BC = 2BD = 2DC$. Подставим это в условие: $AD = \frac{1}{2}(2 \cdot BD) = BD$ $AD = \frac{1}{2}(2 \cdot DC) = DC$

Таким образом, мы получаем, что $AD = BD = DC$. Это означает, что точка $D$ равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$. Следовательно, точка $D$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, а сторона $BC$ — её диаметром.

Медиана $AD$ разделила треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $ABD$ и $ADC$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $AD = BD$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAD = \angle B$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Поскольку $AD = DC$, он также является равнобедренным. Углы при основании равны, поэтому $\angle CAD = \angle C$.

Угол $A$ исходного треугольника $ABC$ является суммой углов $\angle BAD$ и $\angle CAD$: $\angle A = \angle BAC = \angle BAD + \angle CAD$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Заменим в этом равенстве $\angle B$ на $\angle BAD$ и $\angle C$ на $\angle CAD$: $\angle A + \angle BAD + \angle CAD = 180^\circ$.

Поскольку $\angle BAD + \angle CAD = \angle A$, получаем: $\angle A + \angle A = 180^\circ$ $2\angle A = 180^\circ$ $\angle A = 90^\circ$.

Это также следует из свойства прямоугольного треугольника: медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. В данной задаче мы имеем обратное утверждение: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник является прямоугольным, а угол, противолежащий этой стороне, — прямым.

Ответ: $90^\circ$.