Номер 3.48, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.48. Дан треугольник $PQR$. Из точки $\text{T}$, лежащей на биссектрисе угла $QPR$, опущены перпендикуляры на стороны угла $\text{PQ}$ и $\text{PR}$. $\text{A}$ и $\text{B}$ – точки пересечения перпендикуляров со сторонами угла $\text{PQ}$ и $\text{PR}$ соответственно. Найдите длину отрезка $\text{AT}$, если $AP = 4 \text{ см}$.

Согласно условию задачи, точка $T$ лежит на биссектрисе угла $QPR$ треугольника $PQR$. Из точки $T$ опущены перпендикуляры на стороны $PQ$ и $PR$. Точки $A$ и $B$ являются основаниями этих перпендикуляров на сторонах $PQ$ и $PR$ соответственно. Это означает, что $TA \perp PQ$ и $TB \perp PR$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle PAT$ и $\triangle PBT$. Оба треугольника являются прямоугольными, так как $\angle PAT = 90^\circ$ и $\angle PBT = 90^\circ$ (по определению перпендикуляра). Сторона $PT$ является их общей гипотенузой. Углы $\angle APT$ и $\angle BPT$ равны, поскольку $PT$ — биссектриса угла $QPR$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PBT$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AP = BP$ и $AT = BT$.

В условии дано, что $AP = 4$ см, и требуется найти длину $AT$. В прямоугольном треугольнике $PAT$ известна длина одного катета ($AP$), но для нахождения длины другого катета ($AT$) этих данных недостаточно. Длина $AT$ зависит от величины угла $\angle APT$.

Задача в такой постановке не имеет единственного решения. Вероятно, в условии пропущено, что $\angle QPR = 90^\circ$. Это является распространенным допущением для подобных задач, которое приводит к однозначному ответу.

Примем это допущение и решим задачу. Если $\angle QPR = 90^\circ$, то его биссектриса $PT$ делит его пополам: $\angle APT = \frac{1}{2}\angle QPR = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $PAT$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$. Тогда второй острый угол $\angle ATP$ равен: $\angle ATP = 90^\circ - \angle APT = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $PAT$ два угла равны ($\angle APT = \angle ATP = 45^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, его катеты равны: $AT = AP$.

Учитывая, что по условию $AP = 4$ см, получаем, что $AT = 4$ см.

Ответ: 4 см.