Вопросы, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Докажите теорему 1- теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника.

2. Сформулируйте и докажите неравенства треугольника.

1. Докажите теорему 1 – теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Данная теорема устанавливает связь между величинами сторон и противолежащих им углов в треугольнике и состоит из двух взаимно обратных утверждений.

Утверждение 1: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором сторона $AB$ больше стороны $AC$. Необходимо доказать, что угол $ACB$ больше угла $ABC$.

На большей стороне $AB$ отложим отрезок $AD$, длина которого равна длине стороны $AC$. Так как по условию $AB > AC$, точка $D$ будет лежать между точками $A$ и $B$.

Соединим точки $C$ и $D$. Треугольник $ADC$ является равнобедренным, поскольку $AD = AC$ по построению. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle ADC = \angle ACD$.

Рассмотрим угол $ADC$. Он является внешним для треугольника $DBC$. По свойству внешнего угла треугольника, он больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. В частности, $\angle ADC > \angle DBC$. Угол $DBC$ — это тот же самый угол, что и $\angle ABC$. Таким образом, $\angle ADC > \angle ABC$.

Угол $ACB$ является суммой двух углов: $\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB$. Так как $\angle DCB$ — это угол внутри треугольника, его величина положительна, и, значит, $\angle ACB > \angle ACD$.

Объединим полученные соотношения: $\angle ACB > \angle ACD$. Так как $\angle ACD = \angle ADC$, то $\angle ACB > \angle ADC$. А поскольку $\angle ADC > \angle ABC$, то по свойству транзитивности неравенств получаем, что $\angle ACB > \angle ABC$. Утверждение доказано.

Утверждение 2 (обратная теорема): В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $\angle B > \angle C$. Необходимо доказать, что сторона $AC$ больше стороны $AB$.

Применим метод доказательства от противного. Предположим, что $AC$ не больше $AB$. Тогда возможны два варианта:

1. $AC = AB$. В этом случае треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при основании равны, то есть $\angle C = \angle B$. Это прямо противоречит условию, что $\angle B > \angle C$.

2. $AC < AB$. В этом случае, согласно первому утверждению (прямой теореме), против большей стороны ($AB$) должен лежать больший угол. То есть, $\angle C > \angle B$. Это также противоречит условию, что $\angle B > \angle C$.

Оба возможных случая ($AC=AB$ и $AC<ab$) приводят к противоречию с условием задачи. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и единственно возможным вариантом остается $ac>AB$. Утверждение доказано.

Ответ: Прямая теорема доказывается путем построения на большей стороне отрезка, равного меньшей стороне, и использования свойств равнобедренного треугольника и внешнего угла. Обратная теорема доказывается методом от противного, показывая, что предположения о равенстве или меньшинстве стороны приводят к противоречию с условием об углах.

2. Сформулируйте и докажите неравенства треугольника.

Формулировка теоремы (неравенство треугольника):

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Для треугольника $ABC$ со сторонами $AB, BC, AC$ выполняются следующие три неравенства:

$AB < AC + BC$

$AC < AB + BC$

$BC < AB + AC$

Доказательство:

Достаточно доказать одно из этих неравенств, так как остальные доказываются аналогично. Докажем, что $AB < AC + BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. На луче, продолжающем сторону $AC$ за точку $C$, отложим отрезок $CD$, равный стороне $BC$.

Соединим точки $B$ и $D$. В получившемся треугольнике $BCD$ стороны $BC$ и $CD$ равны по построению, значит, он является равнобедренным. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle CBD = \angle CDB$.

Рассмотрим угол $ABD$ в треугольнике $ABD$. Он состоит из двух углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$. Таким образом, $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$. Отсюда следует, что $\angle ABD > \angle CBD$.

Заменим в последнем неравенстве $\angle CBD$ на равный ему угол $\angle CDB$: $\angle ABD > \angle CDB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нем против большего угла $\angle ABD$ лежит сторона $AD$, а против меньшего угла $\angle ADB$ (тот же самый, что и $\angle CDB$) лежит сторона $AB$. Согласно теореме о соотношении сторон и углов треугольника, против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, $AD > AB$.

Длина отрезка $AD$ по построению равна сумме длин отрезков $AC$ и $CD$: $AD = AC + CD$. Так как мы отложили $CD = BC$, то $AD = AC + BC$.

Подставим это выражение для $AD$ в неравенство $AD > AB$:

$AC + BC > AB$

Это и есть доказываемое неравенство $AB < AC + BC$. Теорема доказана.

Ответ: Неравенство треугольника утверждает, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство проводится с помощью дополнительного построения: на продолжении одной из сторон откладывается отрезок, равный другой стороне, и в получившемся новом треугольнике применяется теорема о соотношении между сторонами и углами.