Номер 3.47, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.47. Даны треугольник $ABC$ и точки $\text{P}$ и $\text{Q}$, что середина отрезка $\text{BP}$ совпадает с серединой стороны $\text{AC}$, а середина отрезка $\text{CQ}$ – с серединой стороны $\text{AB}$. Докажите, что точки $\text{A}$, $\text{P}$ и $\text{Q}$ лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка $\text{PQ}$, если $BC = 3$ см.

Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{p}, \vec{q}$ — это радиус-векторы точек A, B, C, P, Q соответственно, отложенные от некоторого произвольного начала O.

По условию, середина отрезка BP совпадает с серединой стороны AC. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Запишем это условие в виде равенства:

$\frac{\vec{b} + \vec{p}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

Умножив обе части уравнения на 2, получим $\vec{b} + \vec{p} = \vec{a} + \vec{c}$. Выразим из этого равенства вектор $\vec{AP}$, который равен $\vec{p} - \vec{a}$:

$\vec{p} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{b}$

Поскольку $\vec{c} - \vec{b} = \vec{BC}$, мы получаем, что $\vec{AP} = \vec{BC}$.

Теперь рассмотрим второе условие: середина отрезка CQ совпадает с серединой стороны AB. Запишем это также в векторной форме:

$\frac{\vec{c} + \vec{q}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Отсюда $\vec{c} + \vec{q} = \vec{a} + \vec{b}$. Выразим вектор $\vec{AQ}$, который равен $\vec{q} - \vec{a}$:

$\vec{q} - \vec{a} = \vec{b} - \vec{c}$

Поскольку $\vec{b} - \vec{c} = \vec{CB}$, мы получаем, что $\vec{AQ} = \vec{CB}$.

Теперь сравним векторы $\vec{AP}$ и $\vec{AQ}$. Мы знаем, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$ противоположны, то есть $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Используя полученные нами соотношения:

$\vec{AP} = \vec{BC}$

$\vec{AQ} = \vec{CB} = -\vec{BC}$

Отсюда следует, что $\vec{AQ} = -\vec{AP}$.

Это равенство означает, что векторы $\vec{AP}$ и $\vec{AQ}$ коллинеарны (так как один является произведением другого на скаляр -1) и имеют общее начало в точке A. Следовательно, точки A, P и Q лежат на одной прямой, причем точка A является серединой отрезка PQ.

Ответ: Равенство $\vec{AQ} = -\vec{AP}$ доказывает, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Найдите длину отрезка PQ, если ВС = 3 см.

Длина отрезка PQ равна модулю вектора $\vec{PQ}$. Выразим этот вектор через радиус-векторы точек P и Q:

$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p}$

Также можно выразить этот вектор через векторы $\vec{AP}$ и $\vec{AQ}$:

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP}$

Из первой части доказательства мы знаем, что $\vec{AQ} = -\vec{AP}$. Подставим это выражение:

$\vec{PQ} = (-\vec{AP}) - \vec{AP} = -2\vec{AP}$

Также мы установили, что $\vec{AP} = \vec{BC}$. Заменим $\vec{AP}$ на $\vec{BC}$:

$\vec{PQ} = -2\vec{BC}$

Теперь найдем длину (модуль) вектора $\vec{PQ}$. Модуль вектора $-2\vec{BC}$ равен удвоенному модулю вектора $\vec{BC}$:

$PQ = |\vec{PQ}| = |-2\vec{BC}| = 2 \cdot |\vec{BC}|$

Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине отрезка BC, которая по условию составляет 3 см.

$PQ = 2 \cdot BC = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.