Номер 3.50, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.50*. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению, приведенному в примере 2 из пункта 3.2.1.

Поскольку текст примера 2 из пункта 3.2.1 не приведен, будем исходить из наиболее вероятного содержания этого примера в контексте векторной алгебры. Обычно в таких разделах рассматривается условие коллинеарности трех точек. Прямое утверждение, как правило, формулируется следующим образом:

Если точка $C$ лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, то ее радиус-вектор $\vec{c}$ можно представить в виде линейной комбинации радиус-векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ точек $A$ и $B$: $\vec{c} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ для некоторого действительного числа $t$.

Задача состоит в том, чтобы сформулировать и доказать утверждение, обратное данному.

Формулировка обратного утверждения

Если радиус-вектор $\vec{c}$ точки $C$ выражается через радиус-векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ двух различных точек $A$ и $B$ по формуле $\vec{c} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ для некоторого действительного числа $t$, то точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

Доказательство

Пусть $O$ — произвольная точка в пространстве, которую мы примем за начало отсчета. Тогда $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$ и $\vec{c} = \vec{OC}$ — радиус-векторы точек $A$, $B$ и $C$ соответственно.

По условию, существует такое действительное число $t$, что выполняется равенство:

$\vec{c} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

Чтобы доказать, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, достаточно показать, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны. Два вектора называются коллинеарными, если один из них может быть получен из другого умножением на некоторое число.

Выразим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ через радиус-векторы их начал и концов:

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = \vec{c} - \vec{a}$

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

Теперь подставим в выражение для вектора $\vec{AC}$ данное нам в условии выражение для радиус-вектора $\vec{c}$:

$\vec{AC} = ((1-t)\vec{a} + t\vec{b}) - \vec{a}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\vec{AC} = \vec{a} - t\vec{a} + t\vec{b} - \vec{a} = t\vec{b} - t\vec{a}$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$\vec{AC} = t(\vec{b} - \vec{a})$

Поскольку, как мы установили ранее, $\vec{b} - \vec{a} = \vec{AB}$, мы можем переписать полученное равенство в виде:

$\vec{AC} = t \cdot \vec{AB}$

Это равенство означает, что вектор $\vec{AC}$ является результатом умножения вектора $\vec{AB}$ на скаляр $t$. Следовательно, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны.

Так как коллинеарные векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ имеют общую начальную точку $A$, то точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Обратное утверждение формулируется так: если радиус-вектор $\vec{c}$ точки $C$ выражается через радиус-векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ двух различных точек $A$ и $B$ по формуле $\vec{c} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ для некоторого действительного числа $t$, то точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Это утверждение является верным, что и было доказано.