Номер 3.49, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.49. Могут ли биссектрисы двух углов прямоугольного треугольника пересекаться под углом $40^\circ$?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть все возможные случаи пересечения биссектрис двух углов в прямоугольном треугольнике. Пусть дан прямоугольный треугольник с углами $A$, $B$ и $C$, где $∠C = 90°$. Сумма острых углов в таком треугольнике всегда равна $∠A + ∠B = 90°$. При пересечении двух прямых образуются два смежных угла, сумма которых $180°$. Один из этих углов острый (или прямой), а другой — тупой (или прямой). Под углом пересечения обычно понимают величину острого угла. Проверим, может ли этот угол быть равен $40°$.

Случай 1: Пересечение биссектрис двух острых углов.

Пусть биссектрисы острых углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$. Эти биссектрисы и сторона $AB$ образуют треугольник $AOB$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны половинам исходных углов: $∠OAB = \frac{∠A}{2}$ и $∠OBA = \frac{∠B}{2}$. Третий угол треугольника $AOB$, который является одним из углов пересечения биссектрис, можно найти из условия, что сумма углов треугольника равна $180°$:

$∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (\frac{∠A}{2} + \frac{∠B}{2}) = 180° - \frac{∠A + ∠B}{2}$

Поскольку $∠A + ∠B = 90°$, подставляем это значение в формулу:

$∠AOB = 180° - \frac{90°}{2} = 180° - 45° = 135°$

Угол $∠AOB$ равен $135°$, это тупой угол. Острый угол пересечения будет смежным с ним и равен $180° - 135° = 45°$. В этом случае угол пересечения всегда равен $45°$ и не зависит от конкретных значений острых углов $A$ и $B$. Следовательно, он не может быть равен $40°$.

Случай 2: Пересечение биссектрисы прямого угла и биссектрисы острого угла.

Рассмотрим пересечение биссектрисы прямого угла $C$ и биссектрисы острого угла $A$. Пусть они пересекаются в точке $P$. Эти биссектрисы и сторона $AC$ образуют треугольник $APC$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $C$ равны $\frac{∠A}{2}$ и $\frac{∠C}{2} = \frac{90°}{2} = 45°$. Угол при вершине $P$ равен:

$∠APC = 180° - (∠PAC + ∠PCA) = 180° - (\frac{∠A}{2} + 45°) = 135° - \frac{∠A}{2}$

Поскольку $A$ — это острый угол прямоугольного треугольника, его значение лежит в интервале $0° < ∠A < 90°$. Следовательно, для его половины справедливо неравенство $0° < \frac{∠A}{2} < 45°$.

Это позволяет найти диапазон возможных значений для угла $∠APC$:

$135° - 45° < ∠APC < 135° - 0°$

$90° < ∠APC < 135°$

Это означает, что угол $∠APC$ всегда является тупым. Острый угол пересечения $φ$ будет смежным с ним: $φ = 180° - ∠APC$. Найдем диапазон для $φ$:

$φ = 180° - (135° - \frac{∠A}{2}) = 45° + \frac{∠A}{2}$

Так как $0° < \frac{∠A}{2} < 45°$, то для острого угла пересечения $φ$ получаем:

$45° + 0° < φ < 45° + 45°$

$45° < φ < 90°$

Таким образом, острый угол пересечения в этом случае всегда строго больше $45°$. Значение $40°$ в этот диапазон не попадает. Аналогичный результат будет получен и при рассмотрении биссектрис углов $B$ и $C$.

Мы рассмотрели все возможные пары биссектрис, и ни в одном из случаев угол их пересечения не может быть равен $40°$.

Ответ: Нет, не могут.