Номер 3.44, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.44. Докажите, что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом $135^\circ$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом $\angle C = 90^\circ$. Тогда $\angle A$ и $\angle B$ являются его острыми углами. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, для $\triangle ABC$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Поскольку $\angle C = 90^\circ$, сумма острых углов треугольника составляет: $\angle A + \angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Проведем биссектрисы острых углов. Пусть биссектриса угла $\angle A$ и биссектриса угла $\angle B$ пересекаются в точке $O$. Точка $O$ является центром вписанной окружности, но для решения нам это не понадобится.

По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно:

• угол, образованный биссектрисой угла $\angle A$ и стороной $AB$, равен $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$;
• угол, образованный биссектрисой угла $\angle B$ и стороной $AB$, равен $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, который образован вершинами $A$, $B$ и точкой пересечения биссектрис $O$. Сумма углов в этом треугольнике также равна $180^\circ$:

$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle OAB$ и $\angle OBA$:

$\angle AOB + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^\circ$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle AOB + \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 180^\circ$.

Мы ранее установили, что сумма острых углов $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$\angle AOB + \frac{1}{2}(90^\circ) = 180^\circ$.

$\angle AOB + 45^\circ = 180^\circ$.

Из этого уравнения находим искомый угол $\angle AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Угол $\angle AOB$ является одним из двух углов, образующихся при пересечении биссектрис. Он равен $135^\circ$. Второй (смежный) угол равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Поскольку в условии задачи указан конкретный угол $135^\circ$, мы доказали требуемое утверждение.

Ответ: Доказано, что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом $135^\circ$.