Номер 3.64, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.64. На рисунке 3.22 $AO = BO$, $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $AC = BC$.

Рис. 3.22

Для доказательства равенства сторон $AC$ и $BC$ докажем, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а именно, что углы при его основании $AB$ равны, то есть $∠BAC = ∠ABC$.

1. Рассмотрим треугольник $AOB$. По условию задачи дано, что $AO = BO$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, $∠OAB = ∠OBA$.

2. По условию также дано, что $∠1 = ∠2$. Согласно рисунку, $∠1$ — это угол $OBC$, а $∠2$ — это угол $OAC$. Значит, $∠OBC = ∠OAC$.

3. Угол $BAC$ является суммой углов $∠OAC$ и $∠OAB$. То есть, $∠BAC = ∠OAC + ∠OAB$.

4. Угол $ABC$ является суммой углов $∠OBC$ и $∠OBA$. То есть, $∠ABC = ∠OBC + ∠OBA$.

5. Сравним выражения для углов $BAC$ и $ABC$. Мы знаем, что $∠OAC = ∠OBC$ (из условия) и $∠OAB = ∠OBA$ (из равнобедренного треугольника $AOB$). Так как правые части выражений для $∠BAC$ и $∠ABC$ состоят из попарно равных слагаемых, то и сами углы равны:

$∠BAC = ∠OAC + ∠OAB = ∠OBC + ∠OBA = ∠ABC$

6. Мы доказали, что в треугольнике $ABC$ два угла равны: $∠BAC = ∠ABC$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $BC$ лежит напротив угла $BAC$, а сторона $AC$ — напротив угла $ABC$. Следовательно, $AC = BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.