Номер 3.69, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.69. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, разность двух его сторон — 6 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны $a$, $a$ и $b$, где $a$ – боковая сторона, а $b$ – основание. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + a + b = 2a + b$.

По условию, периметр равен 36 см, следовательно, мы имеем первое уравнение:

$2a + b = 36$

Разность двух его сторон равна 6 см. В равнобедренном треугольнике это может быть разность между боковой стороной и основанием. Возможны два случая:

1) $a - b = 6$

2) $b - a = 6$

Рассмотрим третье условие: один из его внешних углов – острый. Внешний угол треугольника смежен с внутренним углом. Их сумма равна $180^\circ$. Если внешний угол $\beta_{ext}$ острый (т.е. $\beta_{ext} < 90^\circ$), то соответствующий внутренний угол $\beta_{int}$ должен быть тупым (т.е. $\beta_{int} = 180^\circ - \beta_{ext} > 90^\circ$).

В треугольнике может быть только один тупой угол. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол при основании был тупым, то сумма двух углов при основании уже была бы больше $180^\circ$, что невозможно. Следовательно, тупым может быть только угол при вершине, противолежащий основанию.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как угол при вершине тупой, он является наибольшим углом в треугольнике. Значит, противолежащая ему сторона (основание $b$) является наибольшей стороной треугольника. Таким образом, должно выполняться неравенство $b > a$.

Из этого следует, что из двух возможных случаев разности сторон нам подходит только второй:

$b - a = 6$, или $b = a + 6$.

Теперь составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2a + b = 36 \\ b = a + 6 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$2a + (a + 6) = 36$

$3a + 6 = 36$

$3a = 36 - 6$

$3a = 30$

$a = 10$ (см)

Теперь найдем основание $b$:

$b = a + 6 = 10 + 6 = 16$ (см)

Таким образом, стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 16 см.

Проверим выполнение всех условий:

1. Треугольник равнобедренный со сторонами 10, 10, 16.

2. Периметр: $10 + 10 + 16 = 36$ см. Верно.

3. Разность двух сторон: $16 - 10 = 6$ см. Верно.

4. Один из внешних углов острый: это означает, что основание $b$ должно быть больше боковой стороны $a$. $16 > 10$. Верно. Также проверим неравенство треугольника: $10 + 10 > 16$ ( $20 > 16$ ). Верно.

Все условия выполнены.

Ответ: стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 16 см.