Номер 3.70, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.70. Прямая пересекает боковые стороны $\text{AB}$ и $\text{AC}$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точках $\text{D}$ и $\text{E}$ соответственно, а продолжение стороны $\text{BC}$ в точке $\text{F}$. Докажите, что $AE > AD$ (рис. 3.24).

Рис. 3.24

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AB$ и $AC$, углы при его основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Обозначим величину этих углов через $\beta$.

Прямая пересекает стороны треугольника и продолжение основания, образуя несколько треугольников. Рассмотрим углы, связанные с этой прямой. Пусть $\angle BFC = \alpha$. Так как $F$ — точка на продолжении $BC$, а не сама точка $B$ или $C$, то $\alpha$ является углом треугольника и, следовательно, $\alpha > 0$.

Рассмотрим треугольник $CEF$. Угол $\angle FCE$ является смежным с углом $\angle ACB$, поэтому $\angle FCE = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - \beta$. Сумма углов в треугольнике $CEF$ равна $180^\circ$, поэтому: $\angle CEF + \angle FCE + \angle CFE = 180^\circ$ $\angle CEF + (180^\circ - \beta) + \alpha = 180^\circ$ Из этого уравнения находим, что $\angle CEF = \beta - \alpha$.

Углы $\angle AED$ и $\angle CEF$ являются вертикальными, так как образованы пересечением прямых $AC$ и $DF$. Следовательно, они равны: $\angle AED = \angle CEF = \beta - \alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $BDF$. В нем $\angle FBD = \angle ABC = \beta$ и $\angle BFD = \alpha$. Сумма углов в треугольнике $BDF$ равна $180^\circ$: $\angle BDF + \angle FBD + \angle BFD = 180^\circ$ $\angle BDF + \beta + \alpha = 180^\circ$ Отсюда $\angle BDF = 180^\circ - \beta - \alpha$.

Углы $\angle ADE$ и $\angle BDF$ являются смежными, так как точки $A$, $D$, $B$ лежат на одной прямой. Их сумма равна $180^\circ$, поэтому: $\angle ADE = 180^\circ - \angle BDF = 180^\circ - (180^\circ - \beta - \alpha) = \beta + \alpha$.

Теперь у нас есть выражения для двух углов в треугольнике $ADE$: $\angle ADE = \beta + \alpha$ $\angle AED = \beta - \alpha$

Для корректного сравнения этих углов, воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника. Для треугольника $EFC$ угол $\angle ACB$ является внешним при вершине $C$ (он смежен с внутренним углом $\angle ECF$). Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. $\angle ACB = \angle CEF + \angle CFE$ $\beta = \angle CEF + \alpha$ Из этого следует, что $\beta > \alpha$, а значит $\beta - \alpha > 0$.

Сравнивая углы в треугольнике $ADE$, получаем: $\angle ADE = \beta + \alpha$ и $\angle AED = \beta - \alpha$. Так как $\alpha > 0$, то $\beta + \alpha > \beta - \alpha$, следовательно $\angle ADE > \angle AED$.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ADE$ сторона $AE$ лежит против угла $\angle ADE$, а сторона $AD$ — против угла $\angle AED$. Поскольку $\angle ADE > \angle AED$, то $AE > AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $AE > AD$ доказано. Доказательство основано на сравнении углов $\angle ADE$ и $\angle AED$ в треугольнике $ADE$. Показано, что $\angle ADE > \angle AED$, из чего по свойству сторон и углов треугольника (против большего угла лежит большая сторона) следует, что $AE > AD$.