Номер 3.63, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.63. Точка $\text{D}$ лежит на стороне $\text{AC}$ треугольника $ABC$, в котором $\angle C = 108^{\circ}$, $BD = 4,3$ см, $AB < 6$ см. Найдите длину стороны $\text{AB}$, если она выражается целым числом.

Рассмотрим треугольник $BDC$. Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AC$, угол $\angle BCD$ совпадает с углом $\angle C$ треугольника $ABC$, то есть $\angle BCD = 108^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Так как $\angle BCD = 108^\circ$, этот угол является тупым и, следовательно, самым большим углом в треугольнике $BDC$. Согласно свойству треугольника, напротив большего угла лежит большая сторона. Сторона, противолежащая углу $\angle BCD$, — это $BD$. Таким образом, $BD$ — самая длинная сторона в треугольнике $BDC$.

Рассмотрим углы $\angle BDC$ и $\angle BDA$. Они являются смежными, поскольку лежат на одной прямой $AC$ и имеют общую вершину $D$. Их сумма составляет $180^\circ$: $\angle BDA + \angle BDC = 180^\circ$.

В треугольнике $BDC$ сумма двух других углов равна: $\angle CBD + \angle BDC = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. Поскольку $\angle CBD$ — это угол треугольника, его величина строго больше нуля, поэтому $\angle BDC < 72^\circ$.

Используя это, найдем оценку для величины угла $\angle BDA$: $\angle BDA = 180^\circ - \angle BDC$. Так как $\angle BDC < 72^\circ$, то $180^\circ - \angle BDC > 180^\circ - 72^\circ$, что означает $\angle BDA > 108^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Угол $\angle BDA$ в этом треугольнике тупой ($\angle BDA > 108^\circ$), следовательно, он является наибольшим углом треугольника $ABD$. Сторона $AB$ лежит напротив этого угла. Значит, $AB$ — самая длинная сторона в треугольнике $ABD$, и $AB > BD$.

Из условия задачи известно, что $BD = 4,3$ см. Следовательно, $AB > 4,3$ см. Также в условии дано, что $AB < 6$ см и длина стороны $AB$ является целым числом. Мы получили двойное неравенство для $AB$: $4,3 < AB < 6$. Единственное целое число, которое удовлетворяет этому неравенству, — это 5.

Ответ: 5 см.