Номер 3.65, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.65. В треугольнике $ABC$ точки $\text{D}$ и $\text{E}$ лежат соответственно на сторонах $\text{AB}$ и $\text{BC}$, причем $AD = CE$ и $AE = CD$. Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$.

По условию задачи дано, что $AD = CE$ и $AE = CD$. Сторона $AC$ является общей для этих двух треугольников.

Таким образом, мы имеем три пары соответственно равных сторон в треугольниках $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$. Следовательно, $\triangle ADC \cong \triangle CEA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle DAC$ в треугольнике $\triangle ADC$ лежит напротив стороны $CD$. Угол $\angle ECA$ в треугольнике $\triangle CEA$ лежит напротив стороны $AE$. Так как по условию $CD = AE$, то эти углы являются соответственными и, следовательно, равны: $\angle DAC = \angle ECA$.

Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $BC$, то угол $\angle DAC$ является тем же углом, что и $\angle BAC$, а угол $\angle ECA$ является тем же углом, что и $\angle BCA$.

Отсюда следует, что в треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.