Номер 3.71, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.71. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон – 16 см. Найдите длины двух других сторон.

Внешний угол треугольника при любой вершине и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$. Если два внешних угла треугольника при разных вершинах равны, то равны и соответствующие им внутренние углы. Например, если внешний угол при вершине A равен внешнему углу при вершине B, то $180^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle B$, что означает $\angle A = \angle B$.

Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, в данном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину.

Периметр треугольника равен 74 см, а одна из его сторон — 16 см. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Известная сторона является боковой стороной.

В этом случае две стороны треугольника равны по 16 см. Найдем длину третьей стороны (основания), обозначив ее за $c$. Периметр $P = 16 + 16 + c$.

Составим уравнение:

$32 + c = 74$

$c = 74 - 32$

$c = 42$ см.

Получили стороны 16 см, 16 см и 42 см. Проверим, может ли существовать такой треугольник с помощью неравенства треугольника, согласно которому сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей стороны.

Проверка: $16 + 16 > 42$, то есть $32 > 42$. Это неравенство неверно. Следовательно, такой треугольник не существует. Этот случай не дает решения.

Случай 2: Известная сторона является основанием.

В этом случае основание треугольника равно 16 см, а две боковые стороны равны между собой. Обозначим длину боковой стороны за $b$. Периметр $P = b + b + 16$.

Составим уравнение:

$2b + 16 = 74$

$2b = 74 - 16$

$2b = 58$

$b = 29$ см.

Получили стороны 29 см, 29 см и 16 см. Проверим неравенство треугольника:

$29 + 29 > 16$ (верно)

$29 + 16 > 29$ (верно)

Такой треугольник существует. Две другие стороны равны 29 см и 29 см.

Ответ: 29 см и 29 см.