Номер 3.66, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.66. Докажите, что $AD < AB + BC + CD$ (рис. 3.23). $AO < \frac{AC + AD}{2}$.

Рис. 3.23

3.66. Для доказательства данного неравенства в четырехугольнике $ABCD$ проведем диагональ $AC$. Эта диагональ разделит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$.

Запишем неравенство треугольника для каждого из этих треугольников. Неравенство треугольника гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Для треугольника $\triangle ACD$ применим это правило к стороне $AD$:

$AD < AC + CD$

Для треугольника $\triangle ABC$ применим это правило к стороне $AC$:

$AC < AB + BC$

Теперь мы имеем систему из двух неравенств:

1) $AD < AC + CD$

2) $AC < AB + BC$

Подставим неравенство (2) в неравенство (1). Мы заменяем величину $AC$ в первом неравенстве на заведомо большую величину $AB + BC$. При этом знак неравенства сохраняется:

$AD < (AB + BC) + CD$

Раскрывая скобки, получаем окончательное выражение:

$AD < AB + BC + CD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем разбиения четырехугольника на два треугольника и последовательного применения неравенства треугольника.