Номер 3.62, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.62. Точка $\text{D}$ лежит на основании $\text{BC}$ равнобедренного треугольника $ABC$. Докажите, что отрезок $\text{AD}$ меньше боковой стороны этого треугольника.

Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник, в котором $BC$ является основанием. Согласно свойствам равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны ($AB = AC$), а углы при основании также равны ($\angle ABC = \angle ACB$). Точка $D$ лежит на основании $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Чтобы доказать, что отрезок $AD$ меньше боковой стороны $AB$, мы можем сравнить углы, лежащие напротив этих сторон в данном треугольнике. Согласно теореме о соотношении сторон и углов треугольника, большей стороне соответствует больший противолежащий угол. Таким образом, нам нужно доказать, что угол, лежащий напротив стороны $AD$ (то есть $\angle ABD$), меньше угла, лежащего напротив стороны $AB$ (то есть $\angle ADB$).

Угол $\angle ADB$ является внешним для треугольника $ADC$. По теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $ \angle ADB = \angle DAC + \angle ACD $

Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $BC$ и, согласно условию, отрезок $AD$ должен быть строго меньше боковой стороны, $D$ не может совпадать с точками $B$ или $C$. (Если $D$ совпадает с $C$, то $AD = AC = AB$, что не удовлетворяет условию "меньше"). Следовательно, точка $D$ находится между $B$ и $C$, а $\triangle ADC$ является невырожденным треугольником, в котором угол $\angle DAC$ имеет положительную меру ($\angle DAC > 0$).

Из равенства $\angle ADB = \angle DAC + \angle ACD$ и того, что $\angle DAC > 0$, следует, что $\angle ADB > \angle ACD$.

Вспомним, что углы при основании равнобедренного $\triangle ABC$ равны: $\angle ACB = \angle ABC$. Так как $\angle ACD$ — это тот же угол, что и $\angle ACB$, а $\angle ABC$ — тот же угол, что и $\angle ABD$, мы можем записать: $\angle ACD = \angle ABD$.

Подставив это в наше неравенство $\angle ADB > \angle ACD$, получаем: $ \angle ADB > \angle ABD $

Итак, в треугольнике $ABD$ угол $\angle ADB$ больше угла $\angle ABD$. Следовательно, сторона $AB$, лежащая напротив большего угла $\angle ADB$, длиннее стороны $AD$, лежащей напротив меньшего угла $\angle ABD$. Таким образом, $AB > AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.