Номер 4.10, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.10. Как расположена прямая относительно окружности диаметром 16 см, если расстояние от центра до прямой равно: 1) 7 см; 2) 8 см; 3) 9 см?

Для того чтобы определить взаимное расположение прямой и окружности, необходимо сравнить расстояние от центра окружности до прямой, обозначим его $p$, с радиусом окружности, обозначим его $r$.

По условию, диаметр окружности $d = 16$ см. Радиус окружности равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{16 \text{ см}}{2} = 8 \text{ см}$

Существует три возможных случая взаимного расположения:

• Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($p < r$), то прямая пересекает окружность в двух точках и называется секущей.
• Если расстояние от центра до прямой равно радиусу ($p = r$), то прямая имеет с окружностью одну общую точку и называется касательной.
• Если расстояние от центра до прямой больше радиуса ($p > r$), то прямая не имеет с окружностью общих точек.

Рассмотрим каждый из предложенных случаев:

1) Расстояние от центра до прямой равно $p = 7$ см. Сравним это расстояние с радиусом окружности: $7 \text{ см} < 8 \text{ см}$. Так как $p < r$, прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: прямая пересекает окружность в двух точках (является секущей).

2) Расстояние от центра до прямой равно $p = 8$ см. Сравним это расстояние с радиусом окружности: $8 \text{ см} = 8 \text{ см}$. Так как $p = r$, прямая касается окружности в одной точке.

Ответ: прямая касается окружности (является касательной).

3) Расстояние от центра до прямой равно $p = 9$ см. Сравним это расстояние с радиусом окружности: $9 \text{ см} > 8 \text{ см}$. Так как $p > r$, прямая не имеет с окружностью общих точек.

Ответ: прямая не имеет общих точек с окружностью.