Номер 4.13, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.13. Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — точка на этой окружности. Из точки $A$ проведены диаметр $AB$ и хорда $AC$. По условию, длина хорды равна радиусу: $AC = R$. Нам необходимо найти угол между диаметром и хордой, то есть $\angle CAB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Он образован центром окружности $O$ и концами хорды $A$ и $C$. Найдем длины его сторон:

1. Сторона $OA$ является радиусом окружности, так как соединяет центр $O$ с точкой $A$ на окружности. Следовательно, $OA = R$.

2. Сторона $OC$ также является радиусом, так как соединяет центр $O$ с точкой $C$ на окружности. Следовательно, $OC = R$.

3. Сторона $AC$ — это заданная хорда, и по условию её длина равна радиусу: $AC = R$.

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle OAC$ равны ($OA = OC = AC = R$), этот треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle OAC = 60^\circ$.

Искомый угол — это угол между диаметром $AB$ и хордой $AC$, то есть $\angle CAB$. Так как центр окружности $O$ лежит на диаметре $AB$, то луч $AO$ является частью прямой, содержащей диаметр. Поэтому угол $\angle CAB$ и угол $\angle OAC$ — это один и тот же угол.

Таким образом, угол между диаметром и хордой равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$