Номер 4.50, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.50. На данной прямой укажите точку, находящуюся на заданном расстоянии от другой прямой.

Для решения задачи необходимо найти точки, которые удовлетворяют одновременно двум условиям:

1. Принадлежат данной прямой, назовем ее $l$.
2. Находятся на заданном расстоянии, назовем его $d$, от другой данной прямой, назовем ее $m$.

Решение основано на методе геометрических мест точек (ГМТ).

Анализ

Искомые точки являются пересечением двух ГМТ. Первое ГМТ — это сама прямая $l$. Второе ГМТ — это множество всех точек плоскости, находящихся на расстоянии $d$ от прямой $m$. Это множество представляет собой пару прямых, $m_1$ и $m_2$, параллельных прямой $m$ и расположенных по разные стороны от нее на расстоянии $d$. Таким образом, искомые точки — это точки пересечения прямой $l$ с прямыми $m_1$ и $m_2$.

Построение

Алгоритм построения следующий:

1. Строим две прямые, $m_1$ и $m_2$, параллельные прямой $m$ и отстоящие от нее на расстояние $d$. Для этого на прямой $m$ выбираем произвольную точку $A$, проводим через нее перпендикуляр к $m$, откладываем на нем в обе стороны отрезки длиной $d$, получая точки $B_1$ и $B_2$. Через точки $B_1$ и $B_2$ проводим прямые $m_1$ и $m_2$ параллельно $m$.
2. Находим точки пересечения прямой $l$ с построенными прямыми $m_1$ и $m_2$. Эти точки (если они существуют) и являются решением задачи.

Исследование

Количество решений зависит от взаимного расположения исходных прямых $l$ и $m$.

1. Прямые $l$ и $m$ пересекаются

В этом случае прямая $l$ не параллельна прямой $m$. Поскольку $m_1 \parallel m$ и $m_2 \parallel m$, прямая $l$ также не параллельна прямым $m_1$ и $m_2$. Следовательно, она пересечет каждую из них в одной точке.

Ответ: задача имеет два решения.

2. Прямые $l$ и $m$ параллельны ($l \parallel m$)

Пусть расстояние между прямыми $l$ и $m$ равно $h$.

а) Расстояние $h$ равно заданному расстоянию $d$ ($h = d$)

В этом случае прямая $l$ совпадает с одной из построенных прямых ($m_1$ или $m_2$). Это означает, что любая точка прямой $l$ находится на расстоянии $d$ от прямой $m$.

Ответ: задача имеет бесконечно много решений.

б) Расстояние $h$ не равно заданному расстоянию $d$ ($h \neq d$)

В этом случае прямая $l$ параллельна прямым $m_1$ и $m_2$, но не совпадает ни с одной из них. У прямой $l$ нет общих точек с прямыми $m_1$ и $m_2$.

Ответ: задача не имеет решений.